双星图的距离谱确定性

摘要

图论起源于18世纪初著名数学家Euler提出的七桥问题,著名的欧拉公式给出了凸多面体的点,边,面之间的关系.图论在化学,信息科学,网络系统甚至社会学中都有极其广泛的应用,因此图论的研究引起了广泛的关注.而图谱理论是图论研究中的一个非常热门的研究分支.图谱理论主要是通过研究图矩阵(图的邻接矩阵, Laplacian矩阵,无符号Laplacian矩阵以及距离矩阵等与图有关的矩阵)的特征多项式,特征值和特征向量等有关的属性来研究图的组合性质.这方面的研究已取得很多漂亮的结果,如恰有两个不同特征值的连通图是完全图;恰有一个正特征值的连通图是完全多部图;最小特征值大于等于?2的图是线图,广义线图或有限多个例外图;谱半径的相反数仍是特征值的图是二部图;每个特征值的倒数也是特征值的图是冠图,如此等等.著名数学家N.Williams在谈到图的谱理论时指出:“有些看上去是纯组合的重要问题都有这样的特点,即如果不借助图的邻接矩阵特征值的代数方法,是不可能得到现有结论的.”
　　如果两个图的邻接矩阵的谱相同,我们就称它们是同谱的.我们称一个图是(邻接)谱确定的(简称为DS),如果不存在与其同谱不同构的图.谱确定问题(DS-问题)是图谱研究的一个重要方向.谱确定问题可以追溯到大约半个世纪之前,它起源于化学领域.近几十年来,很多数学家将邻接谱确定问题推广到Laplacian谱确定,无符号Laplacian谱确定以及广义谱确定上.近年来,图的距离谱受到了广泛关注,本文主要研究双星图的距离谱确定问题.
　　全文共分为三章.第一章,首先介绍了图谱理论的研究背景,距离谱确定问题的提出及意义;其次介绍了本文所用到的基本概念和符号;最后列出了关于距离谱确定问题的一些已有的研究结果.第二章分为两个小节,第一节我们引入了距离等价划分的定义;第二节给出了距离等价划分的一些应用.第三章我们首先给出一些有用的引理得到一些禁用子图,然后证明双星的距离谱确定性.

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第一章 引言

1.1 研究背景

1.2 基本概念及术语

1.3 关于谱确定的已有成果

第二章 距离等价划分

2.1 距离等价划分的定义

2.2 距离等价划分的一些应用

第三章 S (a, b)的距离谱确定性

3.1 基本引理

3.2 S (a, b)的距离谱确定性

参考文献

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