伪谱法在最优控制问题中的应用

摘要

本文主要考虑了最优控制问题直接数值解法中的谱方法，这类方法主要是基于正交多项式的伪谱方法.这类方法不同于传统差分方法在局部上考虑导数的近似，而是根据函数的整体性质，选取适当的正交多项式去逼近原函数，并构造出相应的求导公式.该方法将一个连续的Bolza系统转化为离散系统形式，即转化为一个非线性规划问题，而后利用非线性规划理论进行求解.该方法的关键是如何选取配置点以及如何构造微分方程.
　　本文主要由以下三部分组成：
　　第一章主要介绍了最优控制问题的历史发展，在现实生活和工程中广泛的应用背景和未来的发展前景.
　　第二章主要介绍了最优控制问题的基本理论概念，连续时间的Bolza问题以及其一阶最优性必要条件，同时简单的介绍了最优控制问题数值算法的集中常见基本思想.介绍了正交多项式的性质以及两种基本的伪谱方法.最后利用样条插值的思想给出了一种直接数值算法.
　　第三章在已有的理论基础上，对直接数值算法进行深一步的探究.主要分析了Gauss伪谱法的原理和协态变量定理，证明了Gauss伪谱法在收敛性和精度上的优点在精度上和收敛性上的优越性.对Gauss伪谱法在计算效率上进行改进，改进后的Gauss伪谱法不仅减少了计算量，避免了由Gauss多项式插值函数所造成的多形式震荡，而且具有更高的精度.最后给出了数值算例进行验证，实验结果表明改进方法的确提高了运算效率.

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第1章 绪 论

1.1 课题来源与意义

1.2相关领域研究现状与分析

1.3 本文的主要研究内容

第2章最优控制问题及其数值解法

2.1最优控制问题

2.1.1最优控制问题的描述

2.1.2 一阶最优性必要条件

2.1.3 最优控制问题的数值算法

2.2 基于正交多项式的伪谱法

2.2.1 Runge现象

2.2.2 正交多项式

2.2.3 两种伪谱法

2.3 基于样条插值的数值算法

2.4 本章小结

第3章 Guass伪谱法及其改进

3.1 Gauss伪谱协态变量映射定理

3.2 Gauss伪谱法的改进

3.3本章小结

结论

参考文献

声明

致谢

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