有限群的自同构群阶与群结构

摘要

本文对有限群的自同构群阶与群结构进行了研究。众所周知,每个有限群都有自己的自同构群,求一个有限群的自同构群是群论研究中很困难的问题。目前,所有有限单群的自同构群已全部求出。但一般群自同构群的求法,甚至于其性质研究,特别是外自同构群研究都是复杂和困难的问题,甚至p-群的自同构群就可以五花八门。如:pn阶初等交换群的自同构群就是p元域上的n阶一般线性群,而阶大于8的广义四元数群的自同构群又仅仅是一个2-群.关于p-群的著名猜想:一个阶为pn(n>2)的非循环p-群,其自同构群的阶一定被pn整除公开了半个多世纪，但仍未被解决。正是由于这样的困难存在,人们自然思考是否问题可以从相反的方向加以研究。即,考虑什么样的有限群可以作为群的自同构群?也就是已知群K,求出一切有限群X,使得方程Aut(X)=K成立。该问题自1900年开始就受到群论学者的关注,但问题研究同样没有大的进展.直到1970年, Nagrebeckii证明了给定一个群K,只有有限个有限群X满足方程Aut(X)=K.他还证明如果X是有限群且|Aut(X)|=n,则|X|<(1+[(n+1)!]n3)2nn9.1979年, Iyer也独立地证明了Nagrebeckii的结论的一个弱化版,即给定一个有限群G,只有有限个有限群X满足方程Aut(X)=K,并给出了K为交错群,对称群,二面体群, dicyclic群,半二面体群时,方程Aut(X)=K的所有有限群解.1982年, Robinson对满足Aut(X)有限以及Cen(X)(中心自同构群)半单的群X的性质进行了描述.由此描述什么样的有限单群K可以作为某个群的自同构群,还证明一个有限单群的一个非平凡覆叠群(covering group)不能作为自同构群,且在文中同时考虑了有限群和无限群。1992年,陈贵云研究了自同构群的所有Sylow子群都循环的有限群,自同构群为Schimidt群的有限群.1994年,他又研究了自同构群为一类特殊的循环群被交换群扩张的有限群.1998年,他与Chigira以及Yamaki给出了所有自同构群为亚循环群的所有有限交换群,并且对满足自同构群为亚循环群的非交换有限群的性质进行了描述.2003年, de Giovanni研究了自同构群为无限二面体群的群。2014年, Celentani研究了自同构群为无限局部二面体群的群。
　　1987年,施武杰提出了单群的纯数量刻画:仅用有限群元素阶的集合和群的阶刻画有限单群。此后，群的数量刻画研究成为独树一帜的热点.在求解方程Aut(X)=K的领域,也出现类似于数量刻画的研究,即对于给定的正整数n,完全刻画群X使得|Aut(X)|=n.当然这实际上是一个群的分类问题。1981年到1983年间, Flannery和Machale给出了方程|Aut(X)|=pk(1≤k≤4), pq的所有解,并证明了|Aut(X)|=pk(5≤k≤7)(p为奇素数)无解.1988年, Curran证明了:对任一奇素数p,|Aut(X)|=pk(1≤k≤5)无解.1989年,他在国际群论会议上提出了三个猜想：不存在群X使得|X|=|Aut(X)|=p6；当p≡1(mod3)时, p-群作为有限群自同构群的最小阶为p7；3-群作为有限群的自同构群的最小阶为39。1994年, Flynn等人求解了方程|Aut(X)|=2k(1≤k≤7).陈贵云在求解|Aut(X)|=n方面做出了一系列好的结果.1990年,他给出了自同构群阶为p1p2···pm或pq2的有限群的结构.2012年,他与夏巧珍以及曹洪平合作求解了自同构群方程|Aut(X)|=4p1p2···pm.李世荣同样在这方面做出了一系列好的结果。他在1994年到2001年间,他找到了所有满足方程|Aut(X)|=23, p3q, p2q2的所有有限群.2004年,他又与杜妮一起确定了|Aut(X)|=4pq的有限群的结构.此外,黄平安与钱国华研究了自同构群阶为prq2的有限群.钱国华又独立证明了李世荣提出的猜想,即不存在有限群X,使得|Aut(X)|是大于1的且是4次方自由的奇数.1994至1998年间,班桂宁与俞曙霞合作首先彻底解决了1989年Curran在国际群论会议上提出的三个猜想,之后又证明了阶小于p12的奇数阶交换p群与阶小于p9的交换p群不能作为有限群的自同构群；这一分类问题虽然有不少进展,但随着n的素因子方幂增加, Aut(X)的结构就越复杂,进而Inn(X)(≌X/Z(X))可能的情形也越多,使得确定X结构的难度就越来越大.由于|Aut(X)|=p, p2, pq, pq2, p2q2, pqr或pqr2的情形已经研究,因此研究|Aut(X)|=p2q2r(p, q, r为互不相同的素数)就提上了议事日程.李世荣于1997年证明了:如果|Aut(X)|为不含立方因子的奇数,则|X|≤2.因此,该问题就转化为研究|Aut(X)|=4pq2以及|Aut(X)|=2p2q2两种情形,其中p, q为奇素数.因此研究|Aut(X)|=4pq2以及|Aut(X)|=2p2q2,其中p, q为奇素数,的有限群分类是一个有理论价值的问题.2013年,我们完全分类了满足|Aut(X)|=4pq2(2

目录

符号及其说明

第一章 引言与主要结论

第二章 预备知识

2.2 相关引理

第三章 自同构群阶为4pq 2的有限群的分类I

第四章 自同构群阶为4pq2的有限群的分类II

第五章 自同构群阶为2p2q2的有限群的分类

论文创新点

参考文献

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致谢