带权函数空间的Sobolev型嵌入与拟线性椭圆型方程的径向解

摘要

本文通过研究带权的径向函数空间的Sobolev型嵌入,得到了一类带有无界或衰减径向位势的拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性.考虑拟线性椭圆型方程(P) {-△pu+V(｜x｜)｜u｜q-2u=Q(｜x｜)｜u｜s-2u,x∈RN,{｜u(x)｜→0,当｜x｜→∞,这里-△pU=-div(｜▽u｜p-2▽u),10,liminf r→0 V(r)/ra0>0,(Q)Q(r)>0,存在实数b和b0,使得liminf r→∞ Q(r)/rb<∞,liminf r→0 Q(r)/rb0>∞,记C∞0,r(RN)为RN上的具有紧支集且C∞光滑的径向函数全体；记D1,pr(RN)为C∞0,r(RN)关于范数‖u‖=(∫RN｜▽u｜p dx)1/p的完备化空间。设q>1,8≥1,定义进而定义Lq(RN;V):={u:RN→R｜u可测,∫RNV(｜x｜)｜u｜qdx<∞},Ls(RN;Q)：={u:RN→R｜u可测,∫RNQ(｜x｜)｜u｜sdx<∞}.Xr(RN;V)：=D1,pr,(RN)∩Lq(RN;V). 易知这个空间在范数‖u‖Xr=(∫RN｜▽u｜pdx)1/p+(∫RNV(｜x｜)｜u｜qdx)1/q 下是Banach空间. 根据实数a,a0,b,b0,p,q,n之间的关系,我们可以定义指标s*,s*,使得s*=∫RN｜▽u｜p-2▽u▽v+V(｜x｜)｜u｜q-2uv-Q(｜x｜)｜u｜s-2uvdx,u,v∈Xr(RN;V) 问题(P)的弱解对应于泛函I的临界点.通过建立变分框架,并应用山路定理可以证明本文的主要存在性定理定理B.设1max{p,q}时,问题(P)有一个非平凡的径向解. 本文的主要定理改进了参考文献[29,30]和[25,26]中的主要结果.

目录

文摘

英文文摘

声明

§1.问题、主要结果及评述

§2.预备知识及引理

§3.嵌入定理的证明

§4.非平凡解的存在性

参考文献

致谢