动力系统混沌化及其在图像加密中的应用研究

摘要

混沌作为20世纪物理学里辉煌的科学奇迹之一，引起了国内外科学家们的广泛关注。混沌反控制（混沌化）是混沌理论研究的重要课题，连续时间系统反控制取得了一些相关结果，但尚未形成具有普适性的系统理论，如何设计具有多个正李氏指数的超混沌系统依然是一个研究热点课题。同时，混沌系统具有初始值高度敏感性、有界性、伪随机性等特点，使得混沌系统在保密通信和信息加密设计上有显著优势，适合于流密码设计和应用，因而如何设计基于混沌系统的密码算法也是信息安全的重要研究方向。为此，本论文进一步研究了动力系统混沌反控制方法和基于混沌系统的信息加密应用，主要工作如下:
　　1.研究了基于QR正交分解和SVD正交分解方法的两种李氏指数（李雅普诺夫指数）计算的改进算法。离散时间系统李氏指数的特征值算法，理论上使用该算法计算李氏指数时，迭代次数k越大，计算结果越准确，并且极限也是存在的。然而，在实际的数值计算中，因计算机有限精度等原因，计算结果会出现数值溢出、无法识别、计算结果不准确等问题，可以表述为如下三个方面:(1)迭代次数k不能过大，否则仿真结果将出现NaN或Inf的错误提示;(2)随着迭代次数七增加，所有的计算结果将趋近于最大李氏指数;(3)如果迭代次数k太小，将使得计算结果不准确。最后，通过几个实例来说明改进算法的可行性和有效性。
　　2.探讨了一些高维超混沌系统的反控制理论和设计方法。首先，给出李氏指数算法定义的理论分析，进而讨论了正李氏指数与雅可比矩阵正实部特征根之间的定性关系，即受控系统配置越多具有正实部的特征根，则受控系统具有正李氏指数的个数也越多。因而，可通过设计受控系统雅可比矩阵具有正实部的特征根个数来解决正李氏指数的配置问题。最后，给出了两个高维超混沌反控制例子。
　　3.提出了构造具有n-2个正李氏指数n维超混沌系统（无简并超混沌系统）的平均特征值准则法。该方法由以下四个步骤组成:(1)设计一个渐近稳定的标称系统并对其作相似变换，用一致有界的控制器和控制矩阵对相似变换后的标称系统进行混沌反控制，得到一个轨道全局有界的受控系统。(2)通过控制器和控制矩阵的闭环极点配置，使得受控系统在两类鞍焦平衡点处对应的具有正实部的特征值个数分别满足n-1和n-2。(3)在控制器的一个周期内，所有雅可比矩阵所对应的平均特征值的正实部个数满足n-2。(4)平均特征值正实部的最小值大于某个给定的阈值Th。最后，给出了若干典型实例，验证该方法的可行性和有效性。
　　4.提出了具有多个控制器的高维无简并超混沌系统构造方法。首先，设计n维耗散的线性系统，经过变换矩阵的相似变换。其次，施加主控制器，并寻找主控制器的最佳控制位置和控制参数，使得在主控制器的一个周期内，受控系统雅克比矩阵对应的平均特征值的正实部个数为n-2，且平均特征值的最小正实部满足某个给定的阈值条件。然后施加多个非主控制器，并预先给定控制参数和固定控制位置，从而生成轨道全局有界的受控系统。最后，给出了构造具有多个控制器的高维无简并超混沌系统两个例子。
　　5.设计了一个新的三维混沌动力系统，并根据拓扑马蹄理论，利用计算机辅助证明该受控系统庞加莱截面映射存在一个不变紧集，使其拓扑半共轭于2移位动力系统。同时，基于该混沌系统设计了图像加密方案。首先，根据混沌系统生成的伪随机序列对图像像素位置进行置乱。然后，利用混沌流密码对图像像素进行多轮加密，从而达到双重加密效果。最后，给出了统计分析来说明该加密方案的安全性和可行性。
　　6.研究了一种基于分数阶超混沌系统的图像加密算法。首先，一个已知明文图像用来对原始明文进行像素混淆。然后利用分数阶超混沌系统生成的伪随机序列对混淆后的图像进行加密。根据加密算法，得到了经过置乱和扩散后的加密图像，该加密方案具有较好的安全性和加密效果。仿真实验验证了该加密方案的可行性，并给出一些统计测试说明该方案的安全性。

目录

摘要

第一章 绪论

1．1 引言

1．2 研究背景和意义

1．3 国内外研究现状

1．3．1 连续系统混沌反控制的研究进展

1．3．2 混沌流密码应用的研究进展

1．3．3 流密码的分类与安全分析

1．4 本文的组织安排

第二章 离散时间混沌系统李氏指数计算的数值分析及其改进算法

2．1 引言

2．2 离散时间混沌系统李氏指数计算的改进算法

2．2．1 离散时间混沌系统李氏指数计算的几个定义

2．2．2 基于QR正交分解的李氏指数计算方法

2．2．3 基于SVD正交分解的李氏指数计算方法

2．3 三个实例

2．3．1 Henon映射

2．3．2 基于Chen-Lai算法的4维离散时间混沌系统

2．3．3 基于Wang-Chen算法的9维离散时间混沌系统

2．4 本章小结

第三章 基于李氏指数配置法的高维超混沌系统反控制分析和设计

3．1 引言

3．2 相关的定义和算法

3．3 李氏指数与特征根之间定性关系的分析和讨论

3．4 高维线性系统的混沌反控制和分析

3．4．1 六维线性系统的混沌反控制及分析

3．4．2 九维线性系统的混沌反控制及分析

3．5 本章小结

第四章 基于平均特征值准则构造具有n-2个正李氏指数的高维超混沌系统

4．1 引言

4．2 简并问题的描述

4．3 构造高维无简并超混沌系统的平均特征值准则与步骤

4．3．1 基于对称正定矩阵的李氏指数计算公式

4．3．2 李氏指数与平均特征值之间的关系

4．3．3 构造高维无简并超混沌系统的平均特征值准则

4．3．4 高维无简并超混沌的设计步骤和参数选取算法

4．4 两个典型的设计实例

4．4．1 设计具有23个正李氏指数的25维无简并超混沌系统

4．4．2 设计具有24个正李氏指数的26维无简并超混沌系统

4．5 本章小结

第五章 具有多控制器的高维无简并超混沌系统构造方法

5．1 引言

5．2 具有多控制器的高维无简并超混沌系统设计与平衡点分析

5．2．1 高维无简并超混沌系统的结构设计

5．2．2 高维无简并超混沌系统的平衡点分析

5．3 具有多控制器的高维无简并超混沌系统分析与设计准则及步骤

5．3．1 高维无简并超混沌系统的分析

5．3．2 具有多控制器的高维无简并超混沌系统设计准则

5．3．3 具有多控制器的高维无简并超混沌系统设计步骤

5．4 两个典型的设计实例

5．4．1 具有4个控制器的12维无简并超混沌系统

5．4．2 具有3个控制器的13维无简并超混沌系统

5．5 本章小结

第六章 三维动力系统混沌反控制的拓扑马蹄分析及应用

6．1 引言

6．2 拓扑马蹄理论介绍

6．3 混沌反控制系统的例子及拓扑马蹄分析

6．3．1 三维线性系统的混沌反控制例子

6．3．2 庞加莱截面中存在拓扑马蹄

6．4 混沌反控制系统的图像加密应用

6．4．1 加密方案设计

6．4．2 位置置乱和流密码加密

6．5 实验结果与安全分析

6．5．1 数值仿真结果

6．5．2 密钥的敏感性和密钥空间

6．5．3 统计分析与差分攻击分析

6．5．4 NIST序列随机性测试

6．5．5 熵分析

6．6 本章小结

第七章 基于分数阶超混沌系统的图像加密方法

7．1 引言

7．2 系统描述

7．3 基于分数阶超混沌系统组合的加密方案

7．3．1 生成初始值和参数

7．3．2 加密算法设计

7．3．3 密文的解密算法

7．4 实验结果

7．5 安全性分析

7．5．1 密钥空间分析

7．5．2 密钥敏感性分析

7．5．3 差分攻击分析

7．5．4 统计分析

7．5．5 熵分析

7．6 本章小结

总结与展望

参考文献

攻读博士学位期间发表或完成的论文

声明

致谢

附录