椭圆型半变分不等式障碍问题解的存在性

摘要

这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果。
　　 在第2章,我们考虑了用优化理论中的补偿逼近法来解决如下含p-Laplacian算子的拟线性椭圆型变分不等式障碍问题解的存在性:
　　 寻找u∈K=｛w∈W1,p0(Ω):w(x)≥0a.e在Ω中｝满足不等式其中,λ1是带有Dirichlet边界条件的负p-Laplacian的第一特征值。为了应用优化理论中的补偿逼近法,本文对位势函数,f(x,u)作了一系列适当假设,并运用了Clarke广义次微分性质、p-Laplacian的第一特征值性质以及补偿算子定理等,得到了满足条件的逼近序列,从而,根据变分不等式的性质导出了上述不等式解的存在性。
　　 在第3章,我们考虑了如下定义在闭凸集上的一类非线性半变分不等式障碍问题解的存在性:
　　 寻找u∈K=｛w∈W1,p0(Ω):w(x)≥0a.e在Ω中｝满足不等式其中,w∈Lq(Ω),w(x)∈()j(x,u(x))a.e.在Ω上,λ1是带有Dirichlet边界条件的负p-Laplacian的第一特征值。对此问题的研究,本文主要依据了闭凸集上的非光滑临界点理论,对位势函数j(x,u)作了适当假设后,使上述不等式满足非光滑紧性条件,然后应用闭凸集上的非光滑临界点定理、Clarke广义次微分性质等,得到了上述问题解的存在性。
　　 在第4章,我们考虑了应用非光滑三个点临界点定理来解决如下一类含p-Laplacian算子的椭圆型变分半变分不等式障碍问题:
　　 寻找u∈K=｛w∈W1,p0(Ω):w(x)≥0 a.e在Ω中｝满足不等式()v∈K,其中,J0(x,u)是J(x,u)=∫u0j(x,t)dt的广义方向导数且j(x,u)关于u在Ω上是几乎处处局部Lipschitz的；G0(x,u)是G(x,u)=∫u0g(x,t)dt的凸分析意义上的方向导数且g(x,u)关于u在Ω上是几乎处处真的、凸的、下半连续的。为了应用非光滑三个点临界点定理找出此问题多解的存在性,本文分别对位势函数j(x,u)和g(x,u)作了适当假设,根据Sobolev空间W1,p0(Ω)中的性质作了一系列不等式估计,使其分别满足紧性条件、极小极大不等式等,从而根据变分不等式的性质得出了问题的解。
　　 在第5章,我们考虑了如下含p(x)-Laplacian算子的Neumann型变分半变分不等式障碍问题多解的存在性:
　　 寻找u∈K={w∈W1,P(x)0(Ω):W(x)≥0 a.e.在Ω中｝满足不等式v是边界()Ω的外单位法向量,λ和μ是两个非负参数。我们知道p(x)-Laplacian是p-Laplacian的推广(即:当p(x)=p是一个常数时),且p(x)-Laplacian有更多复杂的非线性,如:它不是齐次的,并且因为它的主特征值的下确界是零,所以通常没有所谓的第一特征值。这样,就给不等式的估计带来了许多问题,许多经典的定理和方法,如:Sobolev空间中的嵌入定理、负p-Laplacian的第一特征值性质等,都不能直接应用。为了克服这些问题,本文对位势函数j(x,u)和g(x,u)作了适当假设后,应用Lebesgue-Sobolev空间W1,p(x)0(Ω)中的性质做了一些不等式估计,使其分别满足非光滑(PS)-条件、极小极大不等式等,从而应用非光滑三个点临界点定理得到了问题的解。

目录

文摘

英文文摘

1 绪论

1.1 国内外研究现状

1.2 一些定义与定理

2 一类拟线性椭圆型变分不等式解的存在性

2.1 引言

2.2 预备知识和主要结果

2.3 主要结果的证明

3 闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性

3.1 引言

3.2 预备知识及存在性结果

3.3 主要结果的证明

4 一类变分半变分不等式障碍问题三个解的存在性

4.1 引言

4.2 预备知识和主要结果

4.3 主要结果的证明

5 带有p(x)-Laplacian算子的障碍问题多解的存在性

5.1 引言

5.2 预备知识及存在性结果

5.3 主要结果的证明

参考文献

在学期间的研究成果及发表的论文

致谢