超短激光脉冲在非线性介质中的解析解

摘要

超短（周期量级）激光脉冲在观察和控制许多物理现象上已经得到了广泛的应用，比如电子的运动，分子的振动，复杂分子的化学反应。并且，超短激光脉冲与物质体系相互作用产生的瞬态相干光学效应，如超辐射，拉比振荡，自由感应衰减,光学章动，光子回波，自感应透明和光学孤子等现象引起了人们的极大关注。在实验上，人们已经可以实现使周期量级脉冲(FCP)的脉宽达到阿秒量级，这为观察电子的运动提供了可能性。在理论上，许多非慢变包络近似下的理论模型也相继被提出，如(1+1)维的mKdV方程，sG方程，SPE方程，mKdV-sG方程和(2+1)维的KP方程。在这些描述周期量级脉冲传播的非慢变包络近似模型中，mKdV-sG方程的呼吸孤子解最能描述周期量级脉冲孤子在非线性介质中的传播特性。本文主要研究的是一个二能级原子模型在非慢变包络近似下，采用短波近似让载波频率远远大于共振频率，利用多重尺度展开方法，从麦克斯韦布洛赫方程展开得到的(2+1)维非线性耦合方程，人们对该非线性耦合方程只做了数值结果，并未给出相关的解析解。首先，利用标准的Painlevé奇性分析测试该模型的可积性，发现该模型是不可积的。利用相容的tanh函数展开方法进行求解，得到了用一个或二个任意函数表示的一般解。通过假设任意函数的形式，我们得到了kink与一个周期波相互作用解、kink与二个周期波相互作用解、kink与一个偶极孤子相互作用解、kink与二个偶极孤子相互作用解和kink和亮暗孤子与周期波相互作用解。并且利用了Painlevé截断展开方法得到了kink与kink相互作用解和局域的lump解。描述超短脉冲在二阶非线性介质中传播的(2+1)维的Boussinesq方程，我们同样利用相容的tanh函数展开方法和Painlevé截断展开法得到了不同形状的精确解析解。如亮孤子与周期波相互作用解、振幅变化的周期波解、亮孤子解、类亮孤子解、双势阱暗孤子解和kink与亮孤子相互作用解。

目录

摘要

第一章 引言

1．1 模型简介

1．2 求解方法

1．3 本文的工作

第二章 耦合非线性方程的精确解

2．1 理论模型

2．2 CTE方法和孤子与周期波相互作用解

2．2．1 kink与周期波相互作用解

2．2．2 kink与偶极孤子相互作用解

2．2．3 kink-亮暗孤子-周期波相互作用解

2．3 Painlevé截断展开法和局域结构解

2．3．1 kink与kink相互作用解

2．3．2 局域的lump

2．4 小结

第三章 2+1维的Boussinesq方程的精确解

3．1 理论模型

3．2 孤立波与周期波相互作用解

3．2．1 亮孤子与周期波相互作用解

3．2．2 振幅变化的周期波解

3．2．3 kink与周期波相互作用解

3．3 类孤子解及其相互作用

3．3．1 亮孤子，类亮孤子和双势阱暗孤子

3．3．2 kink与亮孤子相互作用解

3．4 小结

第四章总结与展望

参考文献

攻读学位期间取得的研究成果

致谢

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