时滞耦合van der Pol系统的双Hopf分岔与周期解的同伦方法研究

摘要

随着理论研究的不断深入和工程应用的迫切需要，生活中大量的现实问题都被刻画成非线性系统模型，其中较为常见的两类系统是耦合系统和时滞系统.更为复杂的是，有的问题既需要考虑耦合因素，又需要考虑时滞因素，称之为时滞耦合系统.近年来，关于时滞耦合系统的动力学性质和解析近似解成为许多学者的研究对象.本文旨在以耦合强度α和时滞量τ为双分岔参数，通过多尺度方法和同伦分析方法，研究一类两自由度时滞耦合van der Pol系统的3∶5弱共振双Hopf分岔，并给出周期解的解析近似表达式.该系统的一般方程为:(x)1(t)+(γx21(t）-β)(x)1(t）+(ω)20x1（t)=α(x)2(t-τ），(x)2(t)+(γx22(t）-β)x2(t）+(ω)20x2(t）=α(x)1(t-τ).
　　本文内容分三章，第一章简要介绍了本文的研究背景，并综述了时滞耦合系统双Hopf分岔的研究现状与同伦分析方法应用于非线性振动系统的研究现状.第二章首先根据特征根方法，分析系统线性化特征方程根的分布情况，从而得到系统发生共振双Hopf分岔的参数临界值.接着，运用多尺度方法得到系统3∶5弱共振双Hopf分岔的规范型方程，进而在参数平面内分岔点的附近划分出6个具有不同拓扑结构的区域，讨论各区域的动力学性质.第三章应用同伦分析方法，得到参数取值于各区域时，系统周期解的解析近似表达式.通过与4阶Runge-Kutta方法进行数值比较，验证同伦分析方法的可行性和有效性.

目录

摘要

第1章 绪论

1．1 时滞耦合系统的研究背景

1．2 时滞耦合系统双Hopf分岔的研究现状

1．3 同伦分析方法应用于非线性系统的研究现状

第2章 时滞耦合van der Pol系统的3：5弱共振双Hopf分岔分析

2．1 双Hopf分岔发生的临界条件

2．2 多尺度方法和规范型方程

2．3 系统3：5弱共振双Hopf分岔的分岔图

第3章 时滞耦合van der Pol系统周期解的同伦分析方法

3．1 同伦分析方法

3．2 数值验证

3．2．1 参数(α，τ)取值于区域Ⅱ或Ⅵ时，系统(2．1)的周期运

3．2．2 参数(α，τ)取值于区域Ⅲ或Ⅴ时，系统(2．1)的周期运动

3．2．3 参数(α，τ)取值于区域Ⅳ时，系统(2．1)的周期运动

研究展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文

致谢

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