对分析中一个重要渐近等式的推广

摘要

三角级数论是一个庞大的数学领域，他包含Fourier分析中位于基础地位的Fourier级数.其中Chaundy和Jolliffe在单调性和非负性条件下证明了正弦级数的一致收敛性.之后研究者们将单调性条件逐步推广到一些拟单调条件上，如:拟单调条件，正则变化拟单调条件和O-正则变化拟单调条件.
　　匈牙利数学家Leindler在2001年将注意力转移到剩余有界变差的概念上来推广单调性条件.然而，在2002年他证明了剩余有界变差条件和O-正则变化拟单调条件是互不包含的.之后，乐瑞君和周颂平在2005年定义了包含剩余有界变差概念和O-正则变化拟单调概念的分组有界变差概念，最终，周颂平等在2010年给出了均值有界变差的概念.大量经典结果，如正余弦级数的一致收敛性，Fourier级数的L1-收敛性和Lp可积性等均被推广到了均值有界变差条件上.
　　在Zygmund的书“Trigonometric Series”中证明了正余弦级数的渐近公式，并由Hardy将其推广到单调性条件下并给出了渐近公式的充分必要条件，之后人们建立了一些相应的推广.在1992年，Nurcomb将渐近公式推广到拟单调条件上.有趣的是，谢庭藩和周颂平在1994年证明了渐近公式的充分性部分在O-正则变化拟单调条件下不再成立，而必要性部分则需要加强.后来，乐瑞君，周颂平，王敏之和赵易将渐近公式∞∑n=0 cneinx(≈)A∞∑n=1ω(n-1)einx，x→0+，推广到分组有界变差和均值有界变差条件，同时证明了L2π-可积性.
　　由Leindler的文章[8]获得启发，我们在论文开始研究了这些概念之间的关系.我们知道Fourier变换在计算和工程学上有着重要的应用，本论文的第二个目标是建立Fourier变换中的相应结果.
　　全文共分为四章来阐述:
　　第一章中主要给出这些问题已有的相关背景和工作，并列举了一些相关的定义和包含关系.
　　在第二章中，从乐瑞君和周颂平的定理和Leindler的工作开始，我们证明了均值有界变差条件与分组有界变差条件在条件∫t0ω(u)/u du=O(ω(t))(1.2)和 lim n→∞ cn/ω(n-1)=A(1.3)
　　下是等价的，进一步我们构造反例证明了条件(1.2)不能省去，否则渐近等式不能保持成立.另外，我们也研究了分组有界变差数列，O-正则变化拟单调数列和拟单调数列之间的等价关系.
　　在第三章中，我们考虑了均值有界变差函数并给出了一组Fourier变换的渐近公式，同时证明了均值有界变差函数与O-正则变化拟单调函数之间的等价关系.
　　在第四章中，我们推广了第二章中的一个有用的引理，并给出一个精细的反例证明均值有界变差条件在这些渐近公式中不能取消.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 引言

1．2 常用符号及定义

1．3 单调数列集合及其逐步推广

1．4 单调函数概念的逐步推广

第2章 关于分组有界变差数列的几个等价定理

2．1 引言

2．2 定理的证明

2．3 进一步的讨论

第3章 一类正余弦积分的渐近等式

3．1 引言

3．2 引理，定理与证明

3．3 进一步的讨论(等价关系)

第4章 补充说明

4．1 引言

4．2 主要引理和定理的说明

参考文献

致谢

作者在读期间收录及发表的学术论文