自动微分在计算机图形学中的应用

摘要

自动微分是用于计算多变量函数的导数和偏导数的一种微分技术，在给定一个多变量光滑函数值的程序代码后，可以很容易地利用自动微分来实现有关导数和偏导数的精确计算。计算机图形学是一种研究基于物理定律、经验方法以及认知原理，使用各种数学算法处理二维或三维图形数据，生成可在计算机等显示设备上显示的可视化数据的科学。其主要研究的内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。隐式曲线是计算机图形学中表示平面曲线的一种，用传统的方法去绘制它并不简单而且其图形效果也不太理想。本文将自动微分技术与泰勒方法相结合应用到计算机图形学领域隐式函数曲线绘制的细分算法中，并通过实例与未使用自动微分技术前的隐式曲线绘制方法作比较和分析，展示了自动微分方法在绘制隐式曲线方面的优势。
　　 中心形式的区间算术是一种估计多项式函数取值范围的有效方法。文章又对传统自动微分技术作了新的改进，将自动微分与中心形式的区间算术相结合再应用到隐式函数曲线绘制的细分算法中，并再次通过实例与以往的几种隐式曲线绘制方法作比较和分析，实验数据表明将中心形式的区间自动微分应用在隐式曲线的绘制中其理论数据更精确，图形质量更为优越。

目录

文摘

英文文摘

第一章 绪论

1.1 研究背景

1.1.1 计算微分的发展以及自动微分的诞生

1.1.2 自动微分的发展和研究现状

1.1.3 计算机图形学介绍

1.2 本文的主要研究内容

1.3 本文的结构

第二章 自动微分

2.1 自动微分

2.1.1 自动微分基本概念

2.1.2 自动微分的基本思想

2.1.3 自动微分的基本原理

2.1.4 自动微分的性质

2.2 自动微分的优势和特点

2.2.1 自动微分与符号微分及差分的比较

2.2.2 自动微分的特点

2.3 本章小结

第三章 自动微分在隐式曲线绘制中的应用

3.1 隐式曲线

3.1.1 隐式曲线概念及其绘制方法

3.1.2 隐式曲线绘制的细分算法

3.2 隐式曲线细分算法中区域上界的估计方法

3.2.1 自然区间法

3.2.2 泰勒展开法

3.2.3 自动微分+泰勒展开法

3.3 自动微分在隐式曲线的绘制中的应用

3.3.1 实验举例

3.3.2 实验结果

3.3.3 实验结果比较分析

3.4 本章小结

第四章 中心形式的区间自动微分

4.1 区间算术

4.1.1 区间算术的概念及发展

4.1.2 区间算术的定义

4.1.3 区间算术的应用

4.2 中心形式的区间算术

4.2.1 中心形式

4.2.2 中心形式的区间算术

4.3 中心形式的区间自动微分

4.4 中心形式的区间自动微分的应用

4.4.1 实验举例

4.4.2 实验结果

4.4.3 实验结果分析

4.5 本章小结

第五章 总结与展望

5.1 对本文的总结

5.2 对未来工作的展望

参考文献

附录

致谢

攻读学位期间参加的科研项目和成果