各向异性随机场的样本轨道性质研究

摘要

各向异性随机场比各向同性随机场能更好地描述现实世界，因此对各向异性随机场的研究是当前的一个研究热点.各向异性随机场的研究内容主要包括两个方面:一是各向异性随机场的建模;二是研究各向异性随机场相关的性质.本文考察各向异性随机场的样本轨道性质，主要研究各向异性随机场的碰撞概率、相关随机集的维数和测度函数、局部不确定性的谱条件以及局部时性质，具体内容如下:
　　第一章介绍各向异性随机场的相关模型，并对各向异性随机场样本轨道性质的研究背景和现状进行综述，最后给出了本文的预备知识.
　　第二章研究了一类时间各向异性高斯随机场的碰撞概率.首先根据实际问题的需要提出一类时间各向异性（空间各向同性）的高斯随机场，该类随机场在协方差结构的选择方面可以更为灵活;然后利用位势理论和分形理论，得到该类时间各向异性高斯随机场碰撞概率的上界和下界，其中上界由新度量下Hausdorff测度确定，下界由新势核函数下容度确定.为了更好地说明所研究的随机场，本文利用Bernstein理论和Estrade等人(2011)的方法构造了几个有意义例子.
　　第三章是第二章的延续，在更一般的条件下（相对第二章的随机场），研究两个独立高斯随机场的相交性，得到了它们相交的充分条件，即在什么条件下随机场可以相交和不相交.该随机场的最大特点是协方差结构更为一般，即该协方差是各向异性度量的一个函数，而不仅仅只是各向异性度量平方的常数倍.由于该函数的一般性，所得的充分条件不但要用各向异性度量中的参数进行表示，而且也有利用该函数进行表示.
　　第四章研究一类空间各向异性而时间各向同性高斯场像集的维数.为了得到该类随机场像集的Hausdorff维数、填充维数和像集的一致Hausdorff维数，我们采用类似于在时间集中引入各向异性度量的方法，在空间集中首次引入一个新的各向异性度量来克服空间的各向异性.然后借助位势理论和填充剖面理论得到在新度量下像集的Hausdorff维数和填充维数，以及像集的一致Hausdorff维数结果.
　　第五章研究一类时间和空间都是各向异性高斯随机场的碰撞概率和维数结果.与第四章一样，我们也在空间集引入一个各向异性度量，这样时间集和空间集上就有各自不同的各向异性度量.结合第四章的方法和处理时间各向异性随机场的方法，可以得到时间和空间都是各向异性的高斯随机场的碰撞概率和维数结果.
　　第六章先考察时间各向异性实值平稳高斯随机场关于某个函数φ的强局部不确定性的谱条件.本章利用关于某个正定矩阵的极坐标变换，得到该实值随机场强局部φ-不确定的谱条件，使得φ满足更一般的条件（与现有结果相比较），同时φ可以不只局限于恒等映射.当令φ取特殊的幂函数时，我们还给出了时空各向异性平稳高斯随机场像集的Hausdorff测度结果.
　　第七章研究一类特殊的非高斯随机场，即可调和算子尺度stable随机场.首先证明该类随机场满足stable型的局部不确定，然后利用该类型的局部不确定研究可调和算子尺度stable随机场局部时的存在性和联合连续性.
　　第八章对前面的研究内容进行总结分析，给出了本文的研究工作和主要的创新点，也指出其中的不足以及将来进一步的研究内容.

目录

摘要

第1章 绪论与预备知识

1．1 选题的背景与研究意义

1．2 研究现状

1．3 研究内容和研究方法

1．4 符号说明和预备知识

1．4．1 符号说明

1．4．2 随机场

1．4．3 测度、维数和容度

1．4．4 正定矩阵的极坐标表示和变量替换

第2章 时间各向异性高斯随机场的碰撞概率

2．2 模型和引理

2．3 碰撞概率

2．4 例子

第3章 两个独立高斯随机场的相交性

3．1 引言

3．2 模型和引理

3．3 两个随机场的相交性

3．4 两个随机场在空间集上的相交性

第4章 空间各向异性高斯随机场的维数结果

4．1 引言

4．2 模型和引理

4．3 在空间各向异性度量下像集的维数

4．4 像集的一致维数结果

第5章 时空各向异性高斯随机场的碰撞概率和维数结果

5．1 引言

5．2 碰撞概率

5．3 在两个各向异性度量下的维数结果

5．3．1 逆向集的Haudorff维数

5．3．2 像集的Hausdorff维数

5．4 在欧氏度量下的维数结果

第6章 局部不确定性和时空各向异性高斯随机场的测度结果

6．1 引言

6．2 强局部不确定的谱条件

6．3 像集的确切Hausdorff测度

6．3．1 一些引理

6．3．2 主要结论

第7章 可调和算子尺度stable随机场的局部不确定性和局部时的联合连续性

7．1 引言

7．2 Stable型局部不确定性和引理

7．3 随机场的局部不确定性

7．4 局部时的联合连续性

第8章 结论与展望

8．1 研究内容和创新点

8．2 本文不足和展望

参考文献

攻读博士学位期间发表和录用的论文

致谢

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