Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用

摘要

80年代以来，Fourier分析方法越来越多地被应用在线性和非线性偏微分方程的研究中.特别地，Littlewood-Paley分解和Bony仿积分解被证明是很有效的工具.Littlewood-Paley分解早在50多年前就被提出，最近才在PDE的框架下被系统地使用;而仿积分解是J.-M.Bony在1981年研究非线性双曲方程微局部奇性传播时提出的（参见[7]）.
　　本文致力于应用Littlewood-Paley分解和仿积分解的相关理论来处理Navier-Stokes方程，磁微极流体方程，广义MHD方程，耗散准地转方程和广义Camassa-Holm方程，研究这几种流体力学方程的基本性质，例如:解的存在性，弱解的正则性和强解的爆破准则.
　　首先，第二章介绍Littlewood-Paley理论.具体的来说:我们介绍频率空间的局部化技术（也称为单位二进制分解或Littlewood-Paley分解）和Bony的仿积分解技术，应用Littlewood-Paley理论来刻画齐次和非齐次Besov空间，并列举出Besov空间的一些性质和估计.
　　第三章研究Navier-Stokes方程，Navier-Stokes方程是刻画流体运动的基本方程，其整体适定性问题是当今数学界最关注的公开问题之一.而且二维Navier-Stokes方程相应的问题已经彻底解决.我们的目标是对n维Navier-Stokes方程(η≥3)建立强解的频谱层次上的爆破准则和弱解的正则性.
　　第四章利用Bony的仿积分解技术，频段层次上的交换子估计，高-低频分解等调和分析方法对对三维磁微极流体方程的耗散项与非线性项进行细致的分析，建立一系列在混合时空空间上更为精细的估计，得到方程光滑解的适定性以及建立在频谱层次上，只依赖于速度场的涡度的Blow-up准则.
　　第五章利用Littlewood-Paley分解和Bony的仿积分解技术，研究—类广义MHD方程的适定性及弱解的正则性，改进了一些已有的正则性结果.
　　第六章利用一个由二进制分解和Bony的仿积分解建立成的交换子估计，简单而巧妙地获得了二维耗散准地转方程的一个正则性判别准则，改进了Dong和Chen[43]的结果.
　　第七章研究Camassa-Holm方程，利用事实:Camassa-Holm方程经过简单的变换后在结构上与输运方程存在相似性，再使用Besov空间框架下输运方程的估计，紧性讨论以及Littlewood-Paley理论，得到广义Camassa-Holm方程的局部适定性.

目录

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摘要

第一章 绪论

§1．1 Navier-Stokes方程

§1．2 磁微极流体方程

§1．3 广义MHD方程

§1．4 耗散准地转方程

§1．5 广义Camassa-Holm方程

第二章 Littlewood-Paley理论

§2．1 一些常用不等式

§2．2 频率空间的局部化

§2．3 齐次和非齐次Besov空间

§2．4 Bony的仿积分解技术

第三章 Navier-Stokes方程强解的爆破准则和弱解的正则性

§3．1 引言

§3．2 几个重要引理

§3．3 强解的爆破准则

§3．4 弱解的正则性

第四章 磁微极流体方程解的存在性定理及强解的爆破准则

§4．1 引言

§4．2 几个重要引理

§4．3 局部存在性和爆破准则

第五章 广义MHD方程的正则性准则

§5．1 引言

§5．2 预备知识

§5．3 解的局部适定性

§5．4 弱解的正则性

第六章 耗散准地转方程的正则性准则

§6．1 引言

§6．2 定理及其证明

第七章 广义Camassa-Holm方程Cauchy问题的局部适定性

§7．1 引言

§7．2 预备知识

§7．3 线性估计

§7．4 局部适定性

§7．5 能量守恒和爆破准则

参考文献

攻读博士学位期间发表或待发表的主要论文

致谢