空间闭折线所围的极小网格曲面设计

摘要

本文首先简要地回顾了极小曲面Plateau问题的产生和沿革,综述了目前在CAGD领域内研究Bézier极小曲面造型和B样条极小曲面造型的主要方法、意义与局限性,进一步指出了研究空间闭折线所围的极小网格曲面造型的必要性和合理性。在介绍一般对于Plateau-Bézier问题的Dirichlet解曲面的思想、方法,回顾插值已知型值点的α-B-spline曲线曲面的构造方法及性质之后,本文对空间闭折线所围的极小网格曲面造型的一般提法、理论机理进行了研讨,并提出基于Plateau-B-spline问题的Dirichlet解曲面思想,从几何逼近论的角度,给出了实现空间闭折线所围的极小网格曲面造型的一个设计思路,最终给出了基于双3次B-spline的极小网格曲面的一整套算法,并用几个实例对新理论与新算法进行了验证。本文的主要贡献与创新点可概括为以下几点： 1.在CAGD领域内首次提出了空间闭折线所围的极小网格曲面造型问题并进行了成功的尝试。这将对建筑、机械等工程实际产生深远影响。 2.提出了将Dirichlet能量函数方法推广到双3次B样条曲面的思想,并以此为基础导出空间闭折线所围的极小网格曲面一个解的研究途径,作为用Dirichlet能量函数方法研究极小网格曲面问题的重要理论基础。详细推导了三角曲面片微元与插值顶点的相应三角平面片微元的面积差与该三角曲面参数域及控制顶点之间的关系,并证明了当参数域面积微元趋于0时,可通过选择合适的形状因子α,使得上述两面积微元之差的极限也是0。进而证明了当在曲面内部取点个数趋于无穷时,得到的三角网格总面积趋于Plateau-B-spline意义之下的Dirichlet极小曲面的面积。 3.探索了将Dirichlet能量函数方法推广到离散极小曲面即极小网格曲面研究领域的一种具体算法.其基本思想是借助于广义逆矩阵求解超定线性方程组的方法,以及具有可调因子的非均匀α-B样条曲面转化到均匀B样条曲面的方法。并把该方法引入到基于B样条的极小网格曲面造型中,从而将连续的Dirichlet能量函数极小化问题,转化为一个离散形式的目标函数的极小化问题。全文的理论结果与数值实验表明,本研究的探索是成功的。

目录

文摘

英文文摘

第一章绪论

§1.1极小网格曲面问题的研究背景

§1.2本文的主要工作

第二章预备知识

§2.1 Piateau-Bézier问题的Didchlet解曲面[Monterde,2004]

§2.2 3次α-B插值样条曲线构造[Tai,2004]

§2.3双3次α-B插值样条曲面构造[Tai,2004a]

第三章空间闭折线所围的极小网格曲面设计

§3.1双3次α-B样条曲面转化为均匀B样条曲面

§3.2 Plateau-B-spline问题的Dirichlet解曲面

§3.3问题的提出与解决方案

§3.4解曲面逼近的理论基础与算法

第四章Plateau-B-spline问题离散解的实例

§4.1双3次Plateau-B-spline极小网格曲面的求解实例

第五章总结与展望

§5.1全文总结

§5.2将来的工作

参考文献

致 谢