反应扩散方程的移动网格方法

摘要

本文研究了移动网格方法及其一些应用.移动网格方法作为网格自适应方法的一种，在最近的三十多年一直是研究的热点.虽然在理论分析方面，移动网格方法还处在起始的阶段，尤其对于高维的情况．但是这三十多年的研究表明移动网格方法毫无疑问是解决奇异问题的一种有效的方法．并且跟h-自适应方法相比，移动网格方法能够始终保持网格的拓扑结构和网格点总数，易于编程实现．现在对移动网格方法的研究主要围绕以下几个方面.第一，设计一个有效的算法来计算网格方程.第二，设计一个好的策略来选取合适的网格密度控制函数.第三，移动网格方法的理论性分析．我们的研究主要集中在前两个问题上面．
　　 等分布原理在移动网格方法中具有非常重要的地位.一维的情况下，等分布原理可以唯一的确定网格分布．De Boor算法通过迭代的过程来求解等分布的网格，并且已经有理论结果证明在一定条件下这个算法是收敛的．对于发展方程，当然也可以应用de Boor算法于每一时间层上计算等分布的网格．然而这样做效率不高．MMPDE方法是处理发展方程网格自适应的一种有效的方法.它具有一些良好的性质．在第二章，我们对几个常用的MMPDE和一个经典的带爆破现象的反应扩散方程做了维数分析，从而来确定合适的控制函数．数值结果显示了等分布占优是MMPDE方法有效的一个充分条件而非必要条件．
　　 第三章提出了一个移动热源问题的移动网格方法．移动热源问题的困难主要来自两个方面．其一，问题的奇异性是时间相关的，并且还会发生爆破现象．其二，方程中的δ函数导致了方程的差分离散变得很复杂.我们通过在奇异点处添加一个辅助网格点，一方面简化了方程的差分逼近格式．另一方面构造的这个特殊的移动网格方法能够有效的抓住问题的奇异性．另外，我们把新的移动网格算法应用到多个移动热源的情况.数值结果显示对于多个移动热源的问题，热源的移动速度和热源之间的距离都会对爆破现象产生影响.在第四章中，我们考虑了这个问题的另外一个数值计算上的困难，即无界区域问题.通过引入局部吸收边界条件，我们提出了无界区域的移动网格方法.
　　 最后我们讨论了二维的移动网格方法.对于二维的问题，等分布原理不能唯一的确定网格点分布．因为二维的网格除了面积之外还有其它的因素需要确定，比如网格的形状等．在第五章中，我们研究了一种新的优化传播移动网格方法.它主要从等分布原理和网格的规则性两个方面来考虑.通过跟Winslow方法产生的网格对比，我们发现优化传播移动网格方法能够产生高质量的网格．然后我们提出了一个非耦合的优化传播移动网格算法来求解抛物方程．