渐进迭代逼近方法分析及其推广

摘要

拟合方法广泛应用于计算机辅助几何设计(CAGD)和计算机图形(CG)等领域，而最近一类新的拟合方法(Progressive Iterative Approximation，PIA)以其几何直观、无需求解线性方程组、数值计算稳定等优良的性质，而备受关注.本文将围绕着这一课题，从以下三方面:数值计算效率分析、拟合误差估计分析、推广PIA方法的应用范围，开展了若干的研究，并取得了以下创新成果:
　　1.基于矩阵的幂级数展开，推导了渐进迭代逼近方法和代数插值方法的等价性.在此基础上，针对PIA方法中因病态矩阵而导致收敛速度过慢的问题，通过矩阵分解来优化迭代矩阵的谱半径，以此来加速PIA方法收敛速度，并且探讨了参数化对PIA方法计算效率不确定性影响的问题，并指出向心加速参数是比较好的选择.
　　2.基于L2-矩阵范数，分析了PIA方法的拟合误差.利用PIA方法的迭代格式，给出了PIA逼近曲线的矩阵迭代表达式，再基于矩阵分解，推导了PIA方法的拟合误差估计公式.与以前的研究相比，本文的误差估计更精细完全，并且是一后验估计，所以在理论上进一步完善了该方法.由此，进一步推导了迭代次数预估公式.此外，根据推导的拟合误差估计公式，给出了PIA方法若干理论和实际应用，并且进一步分析了PIA方法数学模型的收敛性和收敛速度.
　　3.以前的研究主要局限于NTP基，本文通过矩阵QR分解，引入变换矩阵，提出了一类新的PIA迭代格式(EPIA)，而新的迭代格式可以统一经典的PIA迭代格式、LPIA迭代格式和WPIA迭代格式，并且新的迭代格式不仅适用于NTP基，而且可以应用于任意的非NTP基.在统一的迭代格式下，当EPIA迭代格式应用于NTP基时，将非常有效地加速PIA收敛速度，而应用于非NTP基时，对任意的参数它的收敛性都可以得到保证，且独立于参数的选取.

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摘要

图目录

表目录

第1章 绪论

1．1 计算机辅助几何设计发展简介

1．2 CAGD中的拟合方法

1．3 PIA方法当前研究概况

1．4 本文的内容

第2章 PIA方法理论推导

2．1 引言

2．2 PIA方法简介

2．3 数值效率分析

2．4 参数化双重影响

2．5 本章小结

第3章 PIA方法误差估计及其应用

3．1 引言

3．2 拟合误差公式推导

3．3 数值应用实倒

3．4 本章小结

第4章 PIA方法的改进·

4．1 引言

4．2 可逆矩阵的幂级数展开

4．3 PIA方法推广

4．4 数值实验及其比较

4．5 本章小结

第5章 总结与展望

5．1 工作总结

5．2 未来工作

参考文献

作者简历

攻读博士学位期间主要研究成果