切触黎曼几何上几何分析的一些研究

摘要

切触黎曼流形是CR几何中伪厄尔米特流形的一般情形，它的殆复结构不一定是可积的。TWT联络是切触黎曼流形上的正则联络，在CR情形下它就是TW联络。Sub-Laplacian算子，共形变换和Yamabe问题也可以在这种流形上定义。本文主要研究了切触黎曼流形上的Lichnerowicz定理和Yamabe问题。
　　第一章，我们介绍了伪厄尔米特流形和切触黎曼流形的研究背景和研究现状。并介绍了本文关于切触黎曼流形的Lichnerowicz定理和Yamabe问题的结论和所用到的研究方法。
　　第二章，我们证明了切触黎曼流形上的Bochner恒等式。并利用Bochner恒等式将CR几何的Lichnerowicz定理推广到切触黎曼几何的情形，给出了切触黎曼流形上sub-Laplacian算子非零第一特征值的下界。
　　第三章，我们讨论了切触黎曼流形上的Yamabe问题。通过构造特殊标架和法坐标，我们证明如果殆复结构不是可积的，切触黎曼流形的Yamabe不变量严格小于Heisenberg群上的Yamabe不变量。故切触黎曼几何的Yamabe问题总是可解的。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 CR流形

1．2 切触黎曼几何

1．3 sub-Laplacian算子的第一特征值

1．4 Yamabe问题

1．5 主要结论及研究方法

2 Bochner恒等式和sub-Laplacian算子的非零第一特征值

2．1 切触黎曼流形上的联络系数，挠率和曲率

2．2 二阶和三阶协变导数以及它们的交换公式

2．3 Bochner恒等式

2．4 两个有用的等式

2．5 定理1．2的证明

2．6 切触黎曼浸入的极小性

3 Yamabe问题

3．1 法坐标的构造

3．2 殆复结构，曲率和Tanno张量的渐进展开

3．3 正规化的特殊标架

3．4 主要定理的证明

附录

参考文献

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