不完备市场中期权定价与对冲方法

摘要

这篇文章提出了一个新的勒维过程，并在此基础上构造一系列考虑随机波动率和杠杆效应的资产定价模型。通过将严格递增的调和稳态过程作为时间变量嵌入到带有漂移项的布朗运动过程中，我们构造了一类新的分布族，记为NTS，来描述资产价格收益的分布。著名的方差伽马和正态逆高松分布都是NTS分布的特殊形式。相较方差伽马和正态逆高松分布，NTS分布多出的第四个参数的经济含义是将金融资产的分布按行业进行分类。似然比统计检验表明，美国市场的技术和电子设备行业的股票收益拒绝方差伽马和正态逆高松分布，但无法拒绝NTS分布。为了研究欧式期权定价和对冲的问题，我们运用傅里叶变换和卷积定理推导出期权的定价公式，并分别在连续和不连续对冲的交易条件下得到方差最优对冲策略的数值解法。这些定价和对冲方法都十分新颖，相比以往的方法有更高的计算效率。基于苹果股票价格和相应的期权合约价格的数据，数值实验结果表明这些算法在定价和对冲问题上有更高的准确度和稳定性。这篇文章所做的工作主要有:
　　1.我们建立了一个新的定价模型框架，并推导出期权定价公式。我们构造了一个新的拥有无限活跃度的纯跳勒维过程，记为NTS过程，并在此基础上提出考虑随机波动率的NTSSV模型以及进一步考虑杠杆效应的NTSSVR模型。通过将期权价格写成收益与特征函数的卷积，我们得到期权价格的闭合解，并利用快速傅里叶变换算法得到数值解。特别地，这篇文章的期权定价方法和框架设定在一般的数学环境中，并不局限于NTS类的模型环境。事实上，只要标的资产收益的特征函数是已知的，期权价格就可以很容易地通过快速傅里叶变换算法计算得到。
　　2.我们分别在连续和不连续对冲的交易条件下推导出方差最优对冲策略的数值解法。通过将期权价格和标的资产写成风险中性测度下的随机积分形式，我们首先推导出在连续对冲交易条件下不考虑杠杆效应的模型的策略显示解。这样的策略求解方法可运用于多种模型环境中，包含BS模型，NTS模型，NTSSV模型以及不考虑杠杆效应的Heston模型。为了得到考虑杠杆效应的模型的策略解，我们在离散时间交易条件下运用二维傅里叶COS方法推导出策略的数值解法。值得一提的是，这种求解方法适用于多种欧式金融衍生品，可运用于更一般的数学环境，只要求标的资产收益的特征函数是已知的且状态变量是可加的。
　　3.我们通过大量的数值分析来探讨模型的拟合能力和预测质量。数值实验主要包括股票价格拟合和期权数值分析。股票价格拟合实验选定美国市场上15只指数和股票在过去三年的收益时间序列，用NTS模型对其进行拟合，并以此来探讨NTS模型多出的第四个参数的作用。期权数值分析中的金融模型包括NTS模型，NTSSVR模型，考虑杠杆效应的Bakshi跳扩散模型，以及作为基准的BS模型。一系列实验设计主要包括样本内定价，样本外定价和期权对冲实验，同时我们还对比了隐含波动率轨迹来评估各个模型的表现。

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致谢

摘要

图目录

表目录

1 引言

2 文献回顾

2．1 纯跳勒维过程

2．2 资产定价模型

2．2．1 跳扩散模型

2．2．2 OU型随机波动率模型

2．2．3 勒维随机波动率模型

3 基于NTS过程的期权定价模型

3．1 NTS过程

3．2 考虑随机波动率的NTSSV模型

3．3 考虑杠杆效应的NTSSVR模型

3．4 BNS-NTS模型

4 期权定价与对冲方法

4．1 卷积定价方法

4．2 不完备市场中期权的对冲方法

4．2．1 连续对冲的方差最优策略

4．2．2 不连续对冲的方差最优策略

5 数值分析

5．1 股票价格拟合

5．2 期权数值分析

5．2．1 数据的收集和处理

5．2．2 估计方法

5．2．3 数值结果

6 结论

参考文献

攻读博士学位期间主要研究成果