离散Hamilton--Jacobi--Bellman问题以及反散射问题的理论和算法研究

摘要

本文主要研究离散Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程以及内部声波反散射问题的相关理论以及数值解法，HJB方程是随机系统的最优控制问题的数学模型，这是一类非常重要的优化问题，在工程，管理以及经济学中有着非常重要的应用。散射是一种常见的物理过程，散射理论在众多科学领域例如地球物理勘探，医学成像，无损检测，石油资源地下矿藏，海洋探测，雷达感知和隐身技术等中有非常重要的应用，其中声波散射的相关问题可以用Helmholtz方程以及相应的边界条件这一数学模型来刻画。 第一章主要介绍这两类问题的相关研究背景及研究意义，对于Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们给出HJB方程的数学模型，然后对连续HJB方程进行离散得到相应的离散HJB方程。而对于散射部分，我们主要考虑不可穿透散射体的内部声波散射问题，根据声波的波动方程推导出声波散射满足Helmholtz方程，结合三种边界条件可以得到三种内部声波反散射问题的数学模型。 第二章主要研究求解离散HJB问题的理论与数值解法，首先概述了已有的数值解法的具体计算过程以及这些算法的优缺点，然后我们提出利用高效的Newton迭代法来求解离散HJB问题，我们的方法是将离散HJB方程进行等价转化，通过引入附加变量的方法将离散HJB问题中的"max"去掉从而转化为了非线性方程组系统并且证明了转化前后问题的等价性，然后利用Newton迭代法来求解转化后的非线性方程组系统从而得到求解离散HJB问题的Newton迭代格式，随后我们证明了该迭代算法是超线性收敛的，最后的数值算例也表明Newton迭代法求解离散HJB问题时收敛速度非常快即算法收敛时的迭代次数非常小并且算法的迭代次数与求解区域的网格划分无关，这是Newton迭代法求解离散HJB问题的主要优势所在。 第三章主要研究内部声波反散射问题以及利用线性采样(linear sampling)方法求解该反问题，首先概述了求解反散射问题的已有算法以及这些算法的优缺点，然后我们根据相关参考知识给出内部声波反散射问题的研究过程中需要用到的理论工具，之后我们便着重研究二维空间中Neumann边界条件下的内部声波反散射问题的数学模型，并且给出了反问题解的唯一性结论。我们提出利用线性采样方法来求解Neumann边界条件下的内部声波反散射问题，给出该算法的理论基础以及算法具体的实施过程，根据算法的具体计算过程我们分析出线性采样方法的优势即线性采样方法不需要求解正散射问题，不需要知道有关散射体的先验信息，求解过程比较简单并且算法与边界条件无关，最后的几个数值算例表明线性采样方法是求解内部声波反散射问题的非常有效的算法，但是根据数值算例也可以看出线性采样方法对噪声比较敏感。 第四章对全文的内容进行了总结并且提出了未来的研究方向。

目录

声明

摘要

第1章绪论

1．1 引言

1．2非光滑离散Hamilton-Jacobi-Bellman方程

1．3散射问题

1．4本文结构

第2章非光滑离散Hamilton-Jacobi-Bellman问题

2．1研究现状

2．2离散Hamilton-Jacobi-Bellman方程的等价格式

2．2．1 m=2的情况

2．2．2 m≥3的情况

2．3 Newton迭代法求解离散Hamilton-Jacobi-Bellman方程

2．3．1求解离散HJB方程的Newton迭代法

2．3．2算法的收敛性分析

2．4数值算例

2．4．1 m=2的数值结果

2．4．2 m=3的数值结果

2．4．3 m=4的数值结果

2．5本章小结

第3章内部反散射问题

3．1 问题背景

3．2研究现状

3．3研究散射问题的基本工具

3．3．2不适定性与Tikhonov正则化

3．4内部反散射问题

3．4．1 内部反散射问题的数学模型

3．4．2反问题解的唯一性

3．5线性采样方法求解内部反散射问题

3．5．1线性采样方法的基本思想

3．5．2重要结论

3．6数值算例

3．6．1椭圆散射体

3．6．2风筝形散射体

3．6．3花生形散射体

3．6．4梨形散射体

3．6．5橡树果形散射体

3．7本章小结

第4章总结与展望

4．1总结与主要创新点

4．2未来研究方向

参考文献

致谢