五次自由阶拟本原置换群及相关三度对称图

摘要

这篇论文旨在研究五次自由阶拟本原置换群及其关联的三度对称图（注：一个置换群G称为d次自由阶的置换群，其中d为正整数，如果不存在素数p,使得pd整除|G|)。
　　著名的Cayley定理告诉我们：任何一个有限群都与一个置换群(其右正则表示)同构。这一定理奠定了置换群在现代数学中的重要地位.近年来，基于O’Nan-Scott-Praeger定理的发现（见[30])和Liebeck,Praeger,Saxl得到的有限单群的极大因子分解(见[24])，置换群论的研究得到了快速的发展,并且在许多领域(尤其在代数图论领域）发现了很好的应用。
　　2005年,Dietrich和Erick[8]研究了立方自由阶群的性质，利用其结果,Li和Qiao[35]完全确定了立方自由阶群的结构，进而在后续文章[21]得到了四次自由阶群的一些好的结构性质。特别地，他们确定了所有立方自由阶和四次自由阶的非交换单群。本文的主要目的之一是研究五次自由阶群的性质，特别地,得到五次自由阶拟本原置换群的分类,并确定所有五次自由阶非交换单群。注：一个置换群G≤Sym(Ω)称为拟本原置换群如果其每个极小正规子群在Ω上都是传递的。
　　1938年,Fruchet证明了任何一个置换群都是一个图的自同构群，从而建立了置换群论和图论间的密切联系。本文的第二个工作是利用所得的五次自由阶拟本原置换群的分类结果去分类具有顶点本原五次自由阶自同构群的所有三度弧传递图Γ。具体而言，我们证明了下述之一成立：Γ≌ K4,K4-4K2或 O2(Petersen图)，或者Γ为PSL(2,p)的陪集图，其中p≡±1(mod16)为素数。

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