时域有限差分法中完全匹配层的实现算法研究

摘要

自1966年K.S.Yee提出时域有限差分法(FDTD)以来，FDTD方法中的重要组成部分-吸收边界条件的研究就一直是研究热点。目前，效果最好的吸收边界条件是完全匹配层(PML)。完全匹配层是数学上在FDTD区域截断边界处虚拟设置一种特殊介质层，通过合理地选择PML的本构参数，能够使FDTD计算域的外行电磁波无反射地穿过分界面而进入PML层，并且无反射条件与外行电磁波的入射角、极化和频率都无关；由于PML层为有耗介质，进入PML层的透射波将迅速衰减。迄今为止，有三种完全匹配层方案：(1)Berenger的分裂场完全匹配层。(2)拉伸坐标完全匹配层(SC-PML)。(3)各向异性完全匹配层(APML或者UPML)。后来，为了吸收低频隐失波，提出了复频率偏移完全匹配层(CFS-PML)。本文的主要内容是研究各种PML，公式的非分裂场形式实现方法。针对已有的PML算法中存在的缺点，提出了一些新颖并且有效的PML算法，并且对所提出的PML新算法进行了数值算例验证。 本文的主要研究内容及创新点如下： 1.基于SC-PML公式，利用在时域离散微分方程的方法和Z变换方法(包括双线性变换(Bilincar Transform)和零极点匹配z变换(Matched Z-Transform))，提出了三种以非分裂场方式实现PML的新算法。它们的创新点是在三维PML的角和一些棱上每个元胞每个场分量的更新仅需要一个辅助变量。然而，在此之前所有的SC-PML实现方法在这些PML区域上都需要两个辅助变量。所以，三种SC-PML新算法具有节约内存的优点。特别地，三种SC-PML新算法在二维和一维情况下更简单和有效。这是因为在二维情况下两个横向场分量(例如，在TMz模式下的Hx和Hy两个场分量)的更新方程不需要辅助变量，而在一维情况下两个场分量的更新方程都不需要辅助变量，从而既节约内存又节约计算时间。 2.基于APML公式，利用Z变换方法(包括双线性变换和零极点匹配Z变换)提出了两种实现PML的新算法。与Ramadan利用Z变换方法实现APML的算法相比，本文提出的APML新算法需要的辅助变量和计算步骤少，从而节约了内存和计算时间。 3.基于带有CFS因子的SC-PML公式，分别利用辅助微分方程(ADE)方法和零极点匹配Z变换方法提出了两种实现CFS-PML的新算法。由于避免了卷积完全匹配层(CPML)所使用的卷积计算，所以两种新算法推导过程更简单，更容易理解。 4.基于带有CFS因子的APML公式，分别利用零极点匹配Z变换和双线性变换方法提出了4种实现CFS-PML的新算法。 5.利用由Sullivan所引入的Z变换方法提出了一种新的非线性FDTD公式，并结合SC-PML新算法给出了完整的更新方程组。 6.提出了一种针对高阶差分方程的最小化内存新算法。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1时域有限差分法(FDTD)的历史与发展

1.2吸收边界条件(ABC)

1.3完全匹配层(PML)的历史和发展现状

1.4本论文的主要工作

1.5本论文的内容安排

第二章时域有限差分法和完全匹配层

2.1麦克斯韦方程及其FDTD形式

2.1.1麦克斯韦方程和Yee元胞

2.1.2直角坐标系的FDTD:三维情况

2.1.3直角坐标系的FDTD:二维情况

2.1.4直角坐标系的FDTD:一维情况

2.2 FDTD方法的数值稳定性

2.2.1时间离散间隔的稳定性要求

2.2.2 Courant稳定条件

2.2.3数值色散对空间离散间隔的要求

2.2.4差分近似后的各向异性特性

2.3激励源的设置

2.3.1脉冲激励源的函数形式

2.3.2激励源的加入方法

2.4完全匹配层(PML)

2.4.1 Berenger的分裂场完全匹配层(BS-PML)

2.4.2拉伸坐标完全匹配层(SC-PML)

2.4.3各向异性完全匹配层(APML或者UPML)

2.4.4复频率偏移完全匹配层(CFS-PML)

2.4.5本论文采用的PML内部的本构参数分布

2.5小结

第三章SC-PML的实现算法

3.1 SC-PML在时域离散微分方程的实现算法

3.1.1基于辅助微分方程(ADE)方法的SC-PML算法(ADE-PML)

3.1.2在时域离散微分方程实现SC-PML的新算法(ESC-PML)

3.1.3数字算例验证

3.2 Z变换方法在FDTD中的应用

3.3 SC-PML基于双线性变换方法的实现算法

3.3.1 Ramadan和Oztoprak介绍的算法(ZT1 SC-PML)

3.3.2基于双线性变换方法实现SC-PML的新算法(BZT SC-PML)

3.3.3数字算例验证

3.4 SC-PML基于零极点匹配Z变换方法的实现算法

3.4.1 Ramadan和Oztoprak介绍的算法(ZT2 SC-PML)

3.4.2基于零极点匹配Z变换方法实现SC-PML的新算法(MZT SC-PML)

3.4.3数字算例验证

3.5 SC-PML新算法截断一维非线性FDTD计算域

3.5.1新的非线性FDTD公式

3.5.2数字算例验证

3.6针对高阶差分方程的最小化内存新算法

3.7小结

第四章APML的实现算法

4.1 APML基于双线性变换方法的实现算法

4.1.1 Ramadan介绍的算法(DSP-APML)

4.1.2基于双线性变换方法实现APML的新算法(BZT-APML)

4.1.3基于Z变换方法的电介质本构关系的离散公式

4.1.4数字算例验证

4.2 APML基于零极点匹配Z变换方法的实现算法

4.2.1 Ramadan介绍的算法(R-APML)

4.2.2基于零极点匹配Z变换方法实现APML的新算法(MZT-APML)

4.2.3数字算例验证

4.3小结

第五章基于SC-PML公式实现CFS-PML的算法

5.1一些预备公式

5.2 CFS-PML在时域离散微分方程的实现算法

5.2.1卷积完全匹配层(CPML)

5.2.2利用SC-PML公式和辅助微分方程(ADE)方法实现CFS-PML的新算法(ADE-SC CFS-PML)

5.2.3数字算例验证

5.3基于SC-PML公式和零极点匹配Z变换方法实现CFS-PML的新算法(MZT-SC CFS-PML)

5.3.1 MZT-SC CFS-PML新算法

5.3.2数字算例验证

5.4小结

第六章基于APML公式和Z变换方法实现CFS-PML的新算法

6.1基于APML公式和零极点匹配Z变换方法实现CFS-PML的新算法(MZT1 CFS-APML和MZT2 CFS-APML)

6.2基于APML公式和双线性变换方法实现CFS-PML的新算法(BZT1 CFS-APML和BZT2 CFS-APML)

6.3四种CFS-APML新算法的内存占用量

6.4数字算例验证

6.5小结

结束语

参考文献

攻读博士期间发表的学术论文

附录 本论文的符号表示和说明

致谢