非广延统计的基本问题和随机动力学基础

摘要

为了解决传统统计力学中的一些局限和困难，1988年Tsallis提出了非广延熵并且由此建立了非广延统计力学。虽然这种新的理论已经成功的应用到了很多物理系统中，但是理论本身仍需要进一步发展和完善。本文重点讨论的内容是非广延统计的基本问题和随机动力学基础，主要包括以下内容：
　　第一，我们讨论了非广延统计中的能量涨落问题。在非广延统计力学下，我们首先得到了正则系综的能量分布和能量涨落。此后，我们讨论了经典理想气体的能量涨落，并且利用非广延统计的热力学极限，分析了能量涨落和系综等价性。最后结合前人的研究，我们把我们的结果和Liu等人的结果进行了对比，并讨论了非广延参数q的一种可能的物理意义。
　　第二，我们研究了非广延统计中等温条件下和绝热条件下的静态线性响应理论。我们首先说明了三种能量约束本质上是不同的。此后，利用第三种能量约束条件，我们重新处理了等温情况下的静态线性响应函数。进一步的，我们推导了绝热情况下线性响应理论，并且给出了等温线性响应和绝热线性响应之间的关系。在最后我们举例分析并说明了，不同的温度定义对结果的影响。
　　第三，我们研究了两变量非线性Langevin方程描述的随机动力学系统，即在不均匀介质中的布朗运动。我们发现在不同的随机积分规则下，如果系统服从广义涨落耗散关系，那么它们都会有幂律形式的定态分布。这些定态分布或者定态解可以用一种统一的幂律分布表示。最后，为了验证理论推导的正确性，我们做了数值验证。
　　第四，我们继续研究了上面得到的定态分布是否是平衡态的问题。首先，我们检验了这些定态解是否满足细致平衡。其次，为了检验在细致平衡条件下，是否还存在其它形式的定态解，我们在细致平衡条件及广义涨落耗散关系下求解了Fokker-Planck方程。最后，我们给出了幂律分布符合细致平衡的条件，并讨论了细致平衡条件和平衡态之间的关系。
　　第五，我们继续探讨了Zwanzig规则的Fokker-Planck方程的时间演化问题。其中的扩散系数被假定是动量的函数，并且和摩擦系数共同服从广义涨落耗散关系。我们解析地得到了Fokker-Planck方程的含时精确解，并分析发现它在长时间趋向于非广延统计的幂律分布。最后，我们用数值方法验证了解析解的正确性，并把它应用到了Ornstein-Uhlenbeck过程，和传统理论的结果做了对比。

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中文摘要

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第一章 非广延统计理论简介

1.1 传统统计力学及其所遇到的困难

1.2 Boltzmann熵和Tsallis熵

1.3 Tsallis熵的基本性质、Santos公理和Abe公理

1.4 内能的三种定义

1.5 非广延统计中的物理温度

1.6 正则系综中能量涨落的一种计算方法

1.7 幂律分布的实验观测以及非广延参数q的物理意义

1.8 非广延统计的随机动力学基础

1.9 本章小结、本文研究目的和内容安排

第二章 非广延统计中的能量分布和能量涨落

2.1 引言

2.2 非广延统计中的分布函数

2.3 非广延统计中的能量涨落

2.4 小结

附录A 能量的q-期望值

附录B 能量涨落的计算

第三章 非广延统计中绝热条件下的静态线性响应函数

3.1 引言

3.2 静态线性响应理论回顾

3.3 非广延统计中的静态线性响应理论

3.4 本章小结

第四章 幂律分布的随机动力学——两变量Langevin方程

4.1 引言

4.2 广义涨落耗散关系下Fokker-Planck方程的定态解

4.3 小结

第五章 定态幂律分布是平衡态还是非平衡定态？

5.1 引言

5.2 细致平衡原理简介

5.3 幂律分布、细致平衡条件和平衡态

5.4 小结

第六章 具有反常扩散的Fokker-Planck方程的含时精确解

6.1 引言

6.2 Fokker-Planck方程和幂律分布

6.3 具有反常扩散的Fokker-Planck方程的含时解

6.4 数值计算和对比

6.5 小结

附录

第七章 总结与展望

7.1 本文总结

7.2 工作展望

参考文献

发表论文和参与科研情况

致谢