一维线性混合热弹性动力学系统的稳定性分析

摘要

利用Green与Naghdi提出的三种非经典的热弹性理论，我们研究了一维的混合线性热弹性系统的稳定性。主要内容概括如下： 我们证明了混合的第Ⅰ型和第Ⅱ型热弹性系统的能量是达不到指数衰减的，但是在光滑的初始状态下，系统是多项式稳定的且其衰减率为1/t，并进一步证明了该衰减率是最优的，即不能再改善。进一步，在混合的第Ⅱ型和第Ⅲ型热弹性系统中引入局部粘性阻尼，并分析所得系统稳定性，基于第Ⅲ型热弹性区域相对于整个区域的位置，得到两种能量衰减率，即：当第Ⅲ型热弹性部分包含区域一个端点时，系统能达到指数衰减；否则，当第Ⅲ型热弹性部分严格位于整个区域内部，那么系统达不到指数衰减，但在光滑初始状态下，可以达到多项式衰减，并进一步验证了所得多项式衰减率的最优性。 本文的研究主要采用频率域方法。首先，建立合适的状态空间，并定义相应的系统算子，把系统转化为C auchy抽象发展方程的形式。运用算子半群的理论，证明动力学系统的适定性。其次，基于系统算子的耗散性并通过判断系统的算子在虚轴上是否存在谱，来讨论系统的强稳定性。并进一步利用频率域方法，通过估计预解算子沿虚轴范数的一致有界性，证明系统能量是指数稳定的。如果预解式估计是无界的，即系统达不到指数稳定，进而去验证一个相对弱的预解式估计，来证明系统的多项式稳定性，并通过选取反例的方法验证所得多项式衰减率的最优性。最后，利用Matlab软件对动力学系统渐近行为进行数值仿真，从而验证所得理论结果。

目录

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第1章 绪论

1.1.2 热弹性系统稳定性的研究现状

1.1.3 本文主要研究方法

1.2 文章结构

第2章 基础理论知识

2.2 线性算子半群理论

2.2.2 C0半群生成理论

2.3 线性系统的稳定性理论

2.3.2 线性系统指数稳定的判定准则

2.3.3 线性系统多项式稳定的判断准则

2.4 几个常用的不等式

第3章 混合的第Ⅰ型和第Ⅱ型热弹性系统

3.2 半群的生成

3.3 系统的多项式稳定性

3.3.1 系统达不到指数稳定

3.3.2 最优的多项式衰减率

3.4 数值模拟

3.5 小结

第4章 带有局部阻尼的混合第Ⅱ型和第Ⅲ型热弹性系统

4.2 半群的生成

4.3 系统的指数稳定性（情况1）

4.4 系统的多项式稳定性（情况2）

4.4.1 系统达不到指数稳定

4.4.2 最优的多项式衰减率

4.5 数值模拟

4.6 小结

第5章 总结与展望

5.2 展望

参考文献

发表论文和参加科研情况说明

致谢