量子力学中的可解系统及相关问题

摘要

本文主要研究量子力学中的可解系统及其相关问题。可解系统是经典力学和量子力学中极其重要的系统，它们在理论物理和实验物理中都起着不可替代的作用。此外，可解系统的研究也促生了其他理论的研究，例如:维里定理和超维里定理、物理学对称性、微扰论等。
　　可解问题的研究既包括可精确求解的系统的研究，也包括越来越受关注的准精确解问题（也称作部分精确可解问题）的研究。通常，可解系统的研究大致包括以下两个思路。一方面，寻找一个已知的物理系统的精确解或者准精确解，甚至是合理的近似解;另一方面，寻找可解的物理模型并且使其和真实存在的物理系统建立联系。
　　该论文的结果主要包括以下两个部分。一方面，我们研究了一些已知物理系统的性质。具体来讲，我们得到了量子非线性谐振子系统和Higgs球面系统的维里定理;给出了Higgs球面系统的超维里定理，并结合费曼-海尔曼定理得到了球面上类似于Hypervirial-Hellmann-Feynman Theorem（HVHF定理）的微扰方法。我们还讨论了Higgs球面屏蔽氢原子系统和球面屏蔽谐振子系统的对称性，给出了球面屏蔽氢原子势和球面屏蔽谐振子势下粒子的运动的轨迹方程和图像。这一部分包含在论文的第二、三、四章。另一方面，我们构建了满足特定对称性的可精确求解的新的系统。具体的讲，我们构建了精确可解的Coulomb-like系统、Oscillator-like系统和非中心势的谐振子系统，这些系统的能谱通过简单计算就可以得到。这一部分构成了论文的第五章。
　　论文包含的五个章节具体如下。在第一章，我们介绍了基本的背景和概念。我们介绍了三维氢原子系统和二维谐振子系统，并讨论了它们的对称性;回顾了量子非线性谐振子系统和Higgs球面系统。
　　作为量子力学中两个最重要的系统，氢原子系统和谐振子系统具有一个共同的性质:轨道的封闭性。这预示着，除了轨道角动量守恒，它们还有另外的守恒量:氢原子的守恒量是Runge-Lenz矢量，谐振子是一个二阶张量。N维氢原子和N维谐振子的守恒量分别构成了李群SO(N+1)和SU(N)的生成元，即N维氢原子具有SO(N+1)对称性，N维谐振子具有SU(N)对称性。
　　量子非线性谐振子是由谐振子系统推广而来的一类量子系统，其可精确求解的性质己得到了很多的关注。许多我们常见的精确可解系统都可以划归到这一类。我们将主要关注一类称作Carinena量子非线性谐振子的量子非线性谐振子，它的哈密顿量中引入了一个参量λ。λ是一个与坐标动量无关的任意参数，可以作为曲面系统的曲率，也可以作为变质量问题的因子，当其取值为零时，哈密顿量退化回原本的形式。
　　Higgs球面系统是氢原子系统和谐振子系统由平面系统向曲面系统的推广。Higgs球面系统是P.W.Higgs于1979年得到的一类球面系统，它是被广泛认可的平面上的氢原子系统和谐振子系统在球面上的推广模型。Higgs球面系统是利用球面上心射投影的方法描述球面运动的模型，在该模型下物体在球面上的运动轨迹在平面上投影与其相对应的平面系统具有几乎完全一样的运动方程，因此Higgs球面系统与其对应的平面系统具有相同的对称性。Higgs球面氢原子系统和Higgs球面谐振子系统的对称性和代数结构被广泛讨论，其守恒量的对易关系为SO(N+1)(SU(N))的一种多项式推广，现在被称为Higgs代数。
　　在第一章，我们还回顾了维里定理、超维里定理和费曼-海尔曼定理。维里定理（也称作均功定理）给出了系统的动能平均值和势能之间的关系，在经典力学和量子力学中占有重要的地位。作为一项重要的应用，维里定理可以对一些不能精确求解的错综复杂的系统求其总的动能的平均值，从而使很多问题大大简化。因此，维里定理被广泛应用于天体物理、统计物理以及物理化学等各个领域。超维里定理是维里定理的推广，它通过一些简单明了的运算，可以得到任意次幂的坐标平均值之间的递推关系。维里定理、超维里定理与费曼-海尔曼定理联合使用，可以对许多系统比较复杂的求解方式进行简化。
　　在第二章，我们给出了一类量子非线性谐振子系统的维里定理。我们研究的这类非线性谐振子系统是一维的Carinena量子非线性谐振子系统，它们的哈密顿量中有一个参量λ。通过研究Carinena量子非线性谐振子系统的动能平均值和势能平均值之间的关系，我们给出了Carinena量子非线性谐振子的维里定理。此外，我们给给出了一类推广了的Carinena量子非线性谐振子系统的维里定理。我们发现这两类量子非线性谐振子的维里定理的形式是一致的，都是与λ和(e)/(e)λ有关的等式。当λ=0时，它们退化为原始的维里定理。
　　在第三章，我们得到了一维和二维的Higgs球面系统的维里定理和超维里定理，并给出了一个求解系统本征能量的微扰方法。具体的说，我们模拟平面上的维里定理，得到了Higgs球面系统的维里定理在经典力学和量子力学中的描述，给出了一个简单对称的动能和势能之间的关系。选择一组合适的超维里算符，我们还得到了该系统的超维里定理。超维里定理结合费曼-海尔曼定理，我们给出了一个类似于平面上HVHF理论(Hypervirial-Hellmann-FeynmanTheorem)的微扰方法。利用这个微扰方法，对于Higgs球面系统一维谐振子系统和两维氢原子系统的微扰，具有方程(3.4.36)和(3.4.56)形式的哈密顿量，我们可以简单的计算出任意阶的能级精确值，因此找到了一类新的可准精确求解的系统。
　　在第四章，我们研究了球面上屏蔽氢原子系统和屏蔽谐振子系统的对称性，并给出它们的能级、波函数以及轨道方程。曾谨言等人研究了平面上屏蔽氢原子和屏蔽谐振子的运动轨道和对称性，我们发现球面的屏蔽系统也具有相似的性质。我们通过在Higgs球面氢原子系统和球面谐振子系统上加上一个屏蔽势构建了一类新的系统，并将其称为球面屏蔽系统。在这类系统中，球面系统原有的椭圆轨道被破坏，但是经过有限圈的偏离后粒子仍然能够回到原点。也就是说，这类系统的运动轨迹是闭合的，系统仍然具有一定的动力学对称性。通过计算，我们证明在该系统中氢原子的SO(N+1)对称性和谐振子的SU(N)对称性均己破缺，但在一些特殊点（即:近日点和远日点）氢原子系统和谐振子系统的原本的守恒量的代数关系仍然存在。这表明系统原来的守恒量不再守恒，但是对于一个给定的能量本征值，这些不再守恒的物理量在Lz的简并态空间构建了Higgs代数。利用以上性质，我们得到了球面屏蔽系统的能级及对应的波函数。我们还计算出了粒子的轨道方程，并用软件Mathematica得到了直观的图像，通过这些图像我们可以直观的观测到粒子在球面上的运动周期以及运动轨道的对称性。
　　在第五章，我们主要研究如何利用对称性来构建可解的物理系统。在这一章，我们分析了氢原子系统和谐振子系统守恒量的代数结构，并通过改变这些结构获得了新的结构。具体来讲，我们通过模拟氢原子得到了Coulomb-like系统，通过模拟谐振子得到了Oscillator-like系统，它们可以看做是质量随位置变化的系统。此外，我们对于非中心势也进行了一系列的尝试。由于在非中心势的情况下角动量不再是守恒量，因此需要构造的物理量变多。我们是从玻色子的升降算符出发，利用它们之间的关系以及它们在整个物理系统中所扮演的角色，构造出了以升降算符的多项式为基础的守恒量，从而得到了新的可解系统。

目录

声明

摘要

Abstract

Contents

Chapter 1 Introduction

1．1 Solvable systems and their dynamical symmetries

1．2 Virial Theorem，Hypervirial Theorem and Hellmann-Feynman Theorem

1．3 Results in this thesis

Chapter 2 Virial Theorem for a class of quantum nonlinear harmonic oscillators

2．1 Introduction

2．2 Virial Theorem for Carinena’s QNHO

2．3 Virial Theorem for the general class of exactly solvable QNHO

2．4 Conclusion

Chapter 3 Virial Theorem and Hypervirial Theorem in a spherical geometry

3．1 Introduction

3．2 Virial Theorem

3．3 Hypervirial Theorems

3．4 Application of The Hypervirial Theorems

3．5 Conclusion

Chapter 4 Higgs algebraic symmetry of screened system in a spherical geometry

4．1 Introduction

4．2 Screened Coulomb potential

4．3 Screened isotropic harmonic oscillator

4．4 Conclusion

Chapter 5 Constructing the quantum systems with dynamical symmetry

5．1 Introduction

5．2 Constructing approach

5．3 Coulomb-like system

5．4 Oscillator-like system

5．5 Non-central potential system

5．6 Conclusion

Chapter 6 Conclusion

6．1 Virial Theorem for quantum nonlinear harmonic oscillators

6．2 Virial Theorem and Hypervirial Theorem in a spherical geometry

6．3 Higgs algebraic symmetry of screened system in a spherical geometry

6．4 Constructing the quantum systems with dynamical symmetry

Bibliography

致谢

个人简介