强椭圆型方程组的Lp预解算子估计以及一类发展型方程在调幅空间上的估计问题

摘要

本文研究了Lipschitz区域上强椭圆型方程组的Lp预解算子估计以及具有含时间势的Schr?dinger型方程在调幅空间上的估计问题。论文主要由三部分构成。
　　论文第二章在有界Lipschitz区域Ω(C)Rd上对满足齐次Neumann型边值条件的常系数强椭圆型方程组建立了Lp预解算子估计。其中当d=3时，1＜p＜∞;当d≥4时，2d/(d+3)-∈＜p＜2d/(d-3)+∈。这里∈=∈(Ω)是某个正常数。当d≥3，2≤p＜2d/(d-1)+∈时，本文还给出了上述方程组解的梯度的全局Lp估计。这两个结果的证明方法主要基于由Shen给出的改进的Calderón-Zygmund引理，以及相关的方程组解的逆H?lder不等式和全局L2估计。作为主要结果的应用，本文还证明了上述椭圆型偏微分算子生成一个Lp上的有界解析半群。最后，利用渐近性定理，将上述主要结果推广到了有界Lipschitz区域上的一类变系数椭网型方程组的情形。
　　论文第三章研究了有界Lipschitz区域Ω(C)Rd上具有Kato类势的满足齐次Dirichlet型或Neumann型边值条件的变系数强椭圆型方程组，这里d≥3。其研究方法基于一个新的局部化的Calderón-Zygmund引理，它把由Shen发展起来的一种实方法推广到了任意有界开集的情形。通过这种方法以及新建立的逆H?lder估计和全局L2估计，本文证明了存在某个正常数∈=∈(Ω)，当2d/(d+2)-∈＜p＜2d/(d-2)+∈时，上述椭圆型方程组在区域Ω上的Lp预解算子估计成立。作为该结果的应用，本文还证明了上述变系数椭圆型偏微分算子生成一个Lp上的有界解析半群。
　　论文第四章研究了一类具有含时间势的Schr?dinger型方程在调幅空间上的估计问题。受Kato-Kobayashi-Ito的研究工作启发，本文通过短时Fourier变换和特征曲线法对这类方程的解给出了一种全新的表示。利用与负Laplacian的分数次权算子（-△）k/2（1≤k≤2）相关的一类振荡积分估计，我们还研究了上述Schr?dinger型方程所对应的典则Hamilton方程。作为应用，得到了关于上述Schr?dinger型方程的传递子在调幅空间上的有界性。需要指出的是，这些新结果包含了经典的Schr?dinger方程和波动方程的情形。

目录

声明

摘要

第一章 引言

1．1 研究背景

1．2 本文的主要结果及内容安排

第二章 Lipschitz区域上常系数椭圆型方程组的Lp预解算子估计

2．1 导言和主要结果

2．2 全局L2估计

2．3 逆H?lder估计

2．4 主要结果的证明

第三章 Lipschitz区域上变系数椭圆型方程组的Lp预解算子估计

3．1 导言和主要结果

3．2 预备知识和概念

3．3 局部化的Calderón-Zygmund引理

3．4 全局L2估计

3．5 逆H?lder估计

3．6 主要结果的证明

第四章 具有含时间势的Schr?dinger型方程在调幅空间上的估计

4．1 导言和主要结果

4．2 主要引理及其证明

4．3 定理4．1的证明

4．4 定理4．2的证明

第五章 结论

参考文献

致谢

个人简历