多边形邻域元胞自动机算法研究

摘要

数值解法是求解许多难以获得解析解的问题的有力工具。发展至今，各种数值解法，如有限单元法、边界元法及无网格法等，已在工程中广泛应用。在数值解法的帮助下，大批实际的问题得以解决。 本论文提出的多边形邻域元胞自动机算法用于求解固体力学问题。求解问题时，该算法将待求解的弹性域离散成随机分布的场节点，并将每个场节点考虑成元胞，而节点位移被指定为元胞的状态量。在该算法中，每个元胞都具有一个包含其邻居元胞的多边形影响域。元胞及其邻居元胞间的局部演变规则借由有限元中的插值思想建立。因而多边形邻域元胞自动机算法能与有限元法自然耦合。在本算法中，邻近问题域边界上的元胞由规则的有限元网格建立元胞间的演变规则，这使得边界条件可以像有限元一样直接施加。求解过程中，随机节点与有限元节点用在相同的框架下演变求解。根据统一形式的演变规则，元胞的状态量在离散的时间步上不断更新，直到所有元胞的状态都收敛。元胞达到的稳定状态即为固体力学问题的数值解。 论文用典型的二维力学问题验证了多边形邻域元胞自动机算法。通过对比数值解与解析解，验证该算法的合理性。多边形邻域元胞自动机算法具有高度并行计算的能力，因此本论文用并行计算提高了求解效率。此外，为了减少迭代步数，将元胞自身上一时间步的位移由遗传影响因子引入到了局部演变规则。数值实验证明，遗传影响因子能显著减少迭代步数。 多边形邻域元胞自动机算法是一种无网格算法。因此在大变形和断裂力学中具有很大潜力，论文初步探索了理想材料非线性的求解过程。

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