中国剩余定理的中外历史发展比较

摘要

《孙子算经》中的“物不知数”问题在中国传统数学史上占有极为重要的地位。至南宋，秦九韶对物不知数问题做精细研究，最终创造了此题的解法，称为大衍总数术（简称大衍术），著录于《数书九章》中。现今称此术为“中国剩余定理”。中国剩余定理是举世闻名的定理，是中外任何一本基础数论教科书中不可或缺的，并被广泛应用于密码学、快速傅里叶变换理论等诸多领域中，但其历史发展的研究却较为稀少。
　　本论文在前人研究的基础上，以中国剩余定理发展的历史为研究对象，将相关文献进行系统地梳理，尤其对南宋秦九韶《数书九章》，清代张敦仁《求一算术》、黄宗宪《求一术通解》，以及印度婆什迦罗二世的《丽罗娃底》，日本关孝和《括要算法》，德国高斯《算术探索》等数学原典;以及日本三上义夫《中国和日本的数学发展》和《中国算学之特色》、法国巴歇《数学趣味》中所记载的相关资料进行深入研究。
　　主要完成了以下工作:首先，从大衍术产生的背景出发，以历代数学家对其的贡献为主线，梳理出国内中国剩余定理的历史发展，并结合钱宝琮的相关文献，作出了中国剩余定理在中国的历史发展演进路线简图;分印度、日本、欧洲三大板块，依次梳理出国外中国剩余定理的历史发展。其次，从研究的时间与成果、问题的起源与传播、符号的产生与使用等多个角度，将国内外对中国剩余定理的相关研究作对比。其中，国内重点讨论秦九韶和黄宗宪的研究工作，国外以欧洲且主要以高斯时期的数学家为研究对象。希望能够以多种视角全面的呈现国内外中国剩余定理研究的差异。中国剩余定理是一个旷世之作，但秦九韶在运用时出现了错误。因此，本论文还分析了秦九韶运用大衍术计算“古历会积”算题时出现的错误及其修正情况。最后，本论文参考李倍始《13世纪中国数学》中对一次同余式组解法的十种水平的分类，及其所呈现的15个有代表性的数学家或著作所达到的水平的表格，结合本论文的相关内容，按照其分类方法，补充了秦九韶之前（主要是印度）以及其后（中国、日本、欧洲）的数学家所达到的水平（中国至清末黄宗宪、日本主要是关孝和与三上义夫、欧洲至比利时赫师慎），并作出了相对完善的列表。发现印度普遍水平较低，到了婆什迦罗二世才有提升。日本关孝和仅达到印度的最高水平，但比其晚了500多年。中国清末的黄宗宪是同时代水平最高的，且最早达到十种水平。而对于欧洲，李倍始的列表中有所遗漏，早在1612年，法国巴歇便达到了高斯的水平。
　　总之，“物不知数问题”的解法要义不明，或许是一种“缺憾”。但正是如此，才导致了秦九韶对其算法原意的探析，进而得出大衍总数术。一道数学问题最终成为了数学史上的华丽篇章，因此探究其解法背后隐藏的原理——中国剩余定理的演变源流、梳理该原理的中外历史发展，无疑是具有积极意义的。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 研究背景及意义

1．2 文献综述

1．3 研究对象及方法

2 大衍求一术的产生过程及其相关概念

2．2 大衍求一术的创立——秦九韶的工作

2．3 “大衍”一词的由来——占筮与大衍术

2．4 大衍求一术的定义及其相关概念

2．4．1 大衍求一术

2．4．2 中国剩余定理

2．4．3 大衍总数术

3 国内中国剩余定理的历史发展

3．1．3 元末明初严恭之“管数”

3．1．4 明末周述学之“总分”

3．2 明末到清中期传统数学的艰难复兴——《数书九章》的整理校注

3．2．1 明代赵琦美抄本及其藏书价值

3．2．2 清中期戴震、李潢、沈钦裴等人的校注工作

3．2．3 《数书九章》的刊刻出版——毛岳生、宋景昌、郁松年的工作

3．2．4 “谈天三友”——焦循、汪莱、李锐的工作

3．3 清中叶到清末时期的数学家对大衍求一术的讨论及其研究成果

3．3．1 焦循的《天元一释》和《大衍求一术》

3．3．2 张敦仁的《求一算术》

3．3．3 骆腾凤的《艺游录》

3．3．4 时曰醇《求一术指》之“求定数定理”

3．3．5 黄宗宪的创造性贡献——《求一术通解》之“反乘率”新术

3．3．6 本节小结

3．4 国内中国剩余定理的历史演进路线图

4 国外中国剩余定理的历史发展

4．1 印度库塔卡

4．2 日本关孝和诸约之术以及三上义夫的研究

4．3 欧洲相关研究

4．3．1 18世纪之前欧洲的相关研究

4．3．2 18世纪欧洲的相关研究

4．3．3 18世纪之后欧洲的相关研究

5 中国剩余定理的中外比较研究

5．1 中国与欧洲的研究时间对比

5．1．1 最高成就出现的时间——秦九韶与高斯的对比

5．1．2 最早联系特例解法与一般理论的时间——秦九韶与巴歇的对比

5．2 中国南宋及清末时期与欧洲高斯时期数学家的研究成果对比

5．2．2 秦九韶与欧几里得的对比——大衍求一术与更相减损术

5．2．3 黄宗宪与欧拉的对比——反乘率新术与欧拉解法

5．2．4 黄宗宪与高斯的对比——素因数分解法的使用

5．3 中外一次同余式问题的起源对比

5．4 中外一次同余式问题的传播对比

5．5 中国剩余定理中外符号产生与使用的差异

6 秦九韶“古历会积”算题的错误研究

6．1 “古历会积”题的秦九韶解法

6．2 秦九韶之后的数学家对“古历会积”算题的校正

7 结语

参考文献

致谢

在校期间的科研成果