Cauchy奇异积分及积分方程的高精度算法

摘要

数学物理中的很多问题都可以归结为带有Cauchy核的奇异积分与积分方程。因此，关于此类问题的文献比较多。但直接计算Cauchy积分和解积分方程有时显得非常困难。从而，对此类问题的讨论就转向了求其数值解。 本文首先叙述了Cauchy奇异积分与积分方程数值解的发展背景，以及现有的一些具有代表性的方法。其次，对于带有Cauchy核的奇异积分，我们给出了一种新型的求积公式和Euler—Maclaurin展开式，以及外推公式。同时，还给出了带有Hilbert核的奇异积分的求积公式。利用这些公式给出了具体带有Cauchy和Hilbert核的奇异积分算例的误差结果，并与已有的一些算法进行了数值结果比较，充分说明了这些公式是高精度公式。另外，本文还讨论了带有Cauchy核和Hilbert核的奇异积分方程的数值解法，也给出了具体算例的误差结果，且与其它方法的结果进行了比较，验证了本文求积公式的优越性。最后，对此问题进行了总结与展望。

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第一章绪论

1.1 Cauchy积分的数值计算发展历史

1.1.1 Cauchy积分数值算法发展

1.1.2 Cauchy积分数值算法的收敛性发展

1.2 Cauchy奇异积分方程的数值计算发展

第二章奇异积分的高精度求积公式

2.1 Cauchy奇异积分的求积公式

2.2 Hilbert奇异积分的求积公式

2.3积分算例

2.4与其它方法的比较

2.4.1 Gauss求积公式法

2.4.2 Lobatto-Chebyshev求积公式法

第三章Cauchy奇异积分方程的数值解法

3.1配置法

3.2内插型求积公式解法

3.2.1 Gauss-Chebyshev求积公式法

3.2.2 Lobatto-Chebyshev求积公式法

3.3数值方法比较

3.4 Hilbert奇异积分方程的数值解法

3.4.1直接积分方法

3.4.2间接积分方法

3.4.3 Hilbert奇异积分方程算例

第四章结论与展望

致谢

参考文献

攻硕期间取得的研究成果