大型线性方程组求解技术及在计算电磁学中的应用研究

摘要

计算数学与科学工程计算涉及到航空航天、现代生物与医学、石油勘探、环境科学、隐身器件设计等国民经济与国防建设的各个方面，其中往往需要求解一个或一系列大型线性系统.而且，随着问题规模的增大，相应线性系统的未知数个数大大增加，动辄上百万、千万，甚至上亿.这些大型线性方程组的求解是求解整个问题的基础和关键所在，其计算量也占整个计算过程非常大的比重，有的甚至达到80％以上.超大规模线性系统求解能力的缺乏成为解决某些实际问题的瓶颈.大型线性方程组求解研究是现代科学计算的重要课题和焦点之一，高效、快速的求解方法研究既有理论意义又有实际价值.本文旨在深入研究求解大型线性系统的高性能算法，并特别针对电磁计算中产生的大型线性系统，构造有效的算法.
　　 构造对称正定矩阵的不完全分解预条件子.不完全分解预条件迭代法的通常做法是，先对系数矩阵进行重排，再不完全分解，然后再进行预条件迭代求解．本文将近似最小度排序嵌入不完全分解过程，提出了一类新型的高效预条件技术.给出了基于IKJ高斯消元的不完全Cholesky分解，并讨论了一些实现细节，然后分析了精确计算和近似计算分解过程中节点度的方法.结合CG方法，提出的预处理技术能很大地加快迭代法收敛速度.最后用丰富的数值实验表明与最小度排序耦合的不完全分解预条件技术的效率，要高于按照一般做法得到的预条件子的效率.
　　 深入研究求解非Hermitian正定线性方程组的Hermitian与Skew-Hermitian分裂(HSS)方法，提出了称为非平衡(lopsided)HSS(LHSS)与非对称(asymmetric)HSS(AHSS)方法.这类方法包含两步迭代，本文从理论上研究了其收敛性以及最优参数的选择问题.在LHSS迭代和AHSS迭代的每一步，都需要求解两个线性方程组.如果用直接法求解这两个方程组，其每个方程组的计算量与求解原方程组相当，那么这里的两步迭代就失去了意义.为了加快两步迭代的收敛速度，在求解这两个方程组时，不准确求出其解，而是用迭代法求其近似解，得到了所谓的ILHSS与IAHSS方法.给出的数值例子验证了本章提出方法的有效性.
　　 基于选主元策略研究对称不定矩阵的较为稳定的预条件技术.该类预条件子修正不完全Choleksy(MIC)分解来构造，在分解过程中采用RBBK选主元策略，得到的预条件子一般也具有不定性，期望与原方程组的系数矩阵更相近.通过数值例子表明，作用于SQMR方法时，该类预条件子显示出了很好的效果.
　　 针对非对称矩阵，研究基于Givens变换的不完全正交预处理技术.直接将得到的不完全QR分解作为原方程组的预条件子，并通过数值实验验证了提出的预条件方法的高效性.然后着重研究了排序对Givens旋转的QR分解的影响，给出了一种减少QR分解中所作Givens旋转次数的排序算法.
　　 针对开域电磁计算问题中出现的大型线性方程组，研究适用有效的预条件子.先讨论用FEM方法求解散射问题时遇到的线性方程组的求解，提出并实现了MIC分解预条件子，然后研究FEM/MoM混合方法求解辐射和散射问题中产生的复杂线性方程组的求解.

目录

文摘

英文文摘

论文说明：主要符号对照表

声明

第一章绪论

1.1研究大型方程组求解的背景和意义

1.2迭代法

1.2.1经典迭代法

1.2.2 Krylov子空间方法

1.2.3求解复对称线性方程组的迭代方法

1.3预条件技术

1.4电磁计算基础

1.4.1矢量偏微分方程组-时域有限差分法(FDTD)

1.4.2矢量波动方程-有限元法(FEM)

1.4.3矢量积分方程-矩量法(MoM)

1.5本文研究方案与创新点

1.6本文结构安排

第二章嵌入近似最小度排序的不完全分解

2.1方法的产生

2.2嵌入最小度排序的IC分解(MDIC)

2.2.1 MDIC算法

2.2.2实现细节

2.3度的计算

2.3.1符号与注记

2.3.2不可分变量

2.3.3元素吸收

2.3.4近似最小度

2.4数值算例

2.4.1 PCG迭代

2.4.2稀疏模式对比

2.5本章小结与展望

第三HSS方法求解非Hermitian正定线性方程组

3.1引言

3.2 LHSS与AHSS方法

3.2.1 LHSS与AHSS方法简述

3.2.2 LHSS迭代的收敛性分析

3.2.3 AHSS迭代的收敛性分析

3.3非精确LHSS迭代和AHSS迭代

3.3.1 ILHSS迭代

3.3.2 IAHSS迭代

3.4数值算例

3.4.1三维对流扩散方程与差分离散

3.4.2 LHSS迭代谱分析

3.4.3 AHSS迭代谱分析

3.4.4 LHSS与ILHSS迭代

3.4.5 AHSS与IAHSS迭代

3.5本章小节

第四章求解对称不定线性方程组的不定预条件子

4.1引言

4.2选主元策略

4.3基于RBBK选主元的PMIC算法

4.4数值实验

4.5本章小结

第五章基于Givens变换的不完全正交预条件子

5.1引言

5.2不完全Givens正交分解算法

5.3数值实验

5.4最少Givens旋转排序

5.4.1 MGO算法

5.4.2结构对称的非对称矩阵

5.4.3一般的非对称矩阵

5.5本章小节和展望

第六章电磁开域问题中大型线性方程组解法研究

6.1 FEM求解3-D电磁散射问题中应用IC分解预条件迭代法

6.1.1问题引入及描述

6.1.2对角加强的修正IC(MIC)分解

6.1.3用IC预条件Krylov子空间方法求解3-D电磁散射问题

6.2混合FEM/MoM方法求解开域问题中的预处理方法

6.2.1引言

6.2.2方程组离散

6.2.3预条件技术

6.2.4数值算例

6.3本章小节与展望

第七章结论

致谢

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果