基于Ricci流的曲面共形参数化

摘要

曲面共形参数化技术是近年来计算机图形学领域的一个研究热点。本文着重介绍了离散 Ricci曲率流这个强大的数学工具，并将此工具应用于曲面共形参数化过程。在参数化过程中,使用离散Ricci曲率流可以很方便的计算出曲面的共形度量和共形结构。通过共形度量的计算，可以对曲面进行全局共形参数化；通过共形结构的比较，可以识别和比较曲面。
　　在曲面的全局共形参数化方面，本文提出了一个基于度量的共形参数化方法。具体做法是将曲面共形参数化过程等价为寻找一个与预设目标曲率相匹配的黎曼度量的过程，使得该度量和网格的初始度量共形等价，并且它所诱导的高斯曲率与预设的目标曲率相同。通过对离散 Ricci流方程的求解，我们可以为原始网格找到适合的黎曼度量。本文介绍的方法，可以对不同拓扑结构的曲面使用统一的方法进行全局共形参数化。通过不同的目标曲率设置，还可以获得不同的参数化效果，可以将初始曲面共形参数化到欧氏平面、球面或者双曲平面。
　　关于曲面匹配方面，本文引入了平坦度量和一致度量的概念。这两种共形结构度量是通过对目标曲率进行特定设置，由Ricci流方程计算而来。曲面的平坦度量和一致度量承载着曲面共形结构信息，利用这些度量，我们就能很直观的进行曲面的识别和比较。

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主要符号对照表

第一章 绪 论

1.1 引言

1.2 离散Ricci曲率流

1.3 离散Ricci流的优点

1.4 离散Ricci流的应用

1.5 本文的结构

第二章 前人的工作

2.1 网格共形参数化方法分类

2.2 离散Ricci曲率流与基于度量共形映射

2.3 circle packing

2.4 变分原理

2.5 本章小结

第三章数学背景及算法实现

3.1 光滑情形下的Ricci流方程

3.2 离散情形

3.3 算法实现

3.4 本章小结

第四章欧氏几何背景下Ricci流共形参数化

4.1 引言

4.2 欧氏几何中的离散Ricci流

4.3欧氏几何背景下Ricci曲率流参数化

4.4 平坦度量的引入及其应用

4.5 曲面索引技术模拟实验

4.6 本章小结

第五章曲率控制下的曲面全局共形参数化

5.1 引言

5.2 曲面全局共形参数化方法

5.3 参数化过程

5.4 基于Ricci流的三维曲面匹配方法

5.5 曲面匹配技术模拟实验

5.6 本章小结

第六章总结与展望

6.1本文总结

6.2 未来工作的展望

致谢

参考文献