时域不连续伽略金方法基函数研究与应用

摘要

时域不连续伽略金方法（DGTD）因其精确、灵活、高效、便于并行化等优点受到极大的欢迎。选择不同的基函数，可以使算法发挥独特的优势，针对不同的应用情况实现高效求解。本项工作主要专注于研究电磁场时域不连续伽略金方法中的基函数的研究及其优势应用。 本文首先研究了具有超高阶基函数的节点时域不连续伽略金算法，并观察到了插值点的不同选择对精度的影响。发现，不仅基函数的正交性，其位置分布同样会产生矩阵性态问题。对于常用的三角形网格，即使基函数的正交性得到保证，随着基函数阶数升高，也将带来矩阵性态变差。这种矩阵性态问题不是出自于基函数的正交性，而是由于三角形网格不存在理想插值点。而不理想的插值点带来的不理想的插值效果，从而导致矩阵性态问题。 接着开发了三棱柱矢量基函数的时域不连续伽略金方法。其数值通量基于Rankine-Hugoniot跳跃关系定义。各个网格之间仅通过数值通量相互耦合。因此时域不连续伽略金的所有操作都是针对单个网格的，从而易于并行化。通过引入辅助微分方程（ADE）来处理介质的色散效应，并将该三棱柱网格的时域不连续伽略金方法应用于电源地板的数值分析。 在研究平行电源地板结构的过程中，发现，零阶的平行板模式在电源地结构的大部分区域中占主导地位，可以利用该模式分布的特点实现高效计算。采用二维（2D）时域不连续伽略金算法，可以简化这种零阶平行板模式的求解，从而减少未知数并提高求解效率。同时，对其它高阶模式，采用三维(3D)算法，以保证求解精度。通过恰当的基函数设置，二维算法和三维算法可以很方便地结合起来，成为一种全新的二维/三维（2D/3D）混合的时域不连续伽略金方法。这种方法由于网格简单、未知量少、并行性好，从而具有较高的计算效率。 考虑到模式简化带来的误差可能会沿着显式的时间迭代积累，必须采用适当的方法来控制该近似误差。为了实现这个目的，提出一种随时间自适应更新二维/三维区域的判据标准，该判据在每个时间歩检测各个网格单元的电磁场值，并对下一时间步的电磁场值作出简单预测，从而判断其是否适用于二维简化，以确保所提出的二维/三维混合方法的计算结果准确稳定。分别基于因果性原理和半离散的DGTD公式提出了两种自适应判据标准，来实现对模式简化误差的控制。此外，将分析集总电路的改进节点分析方法（MNA）与全波仿真的时域不连续伽略金方法结合在一起，从而实现了场路耦合的高效分析。 随后研究使用三棱柱基函数的时域不连续伽略金方法来分析频率选择表面（FSS）和超材料等周期性结构。发现，大多数吸收式手征反射镜超材料受因果性原理的限制，仅能在窄带工作。为此，提出了一种穿透式的手征反射镜。它让不需要的电磁波直接穿透过去。该结构不受因果性原理限制，因而能够实现宽带工作。大多数频率选择表面（FSS）和超材料结构都包含图案化的平面导电层和用于支撑的电介质层。与波长相比，这些层非常薄。因此，通常采用的四面体网格将增加网格以及未知数的数量。相反，使用三棱柱网格单元更适合分析平面结构，从而减少未知数，减少内存使用量并提高效率。通过引入一种近似的周期性边界条件，用三棱柱基函数的时域不连续伽略金方法实现了对周期性无限大结构的高效分析。 本文主要研究了电磁场时域不连续伽略金方法中的基函数设置。研究了节点高阶基函数不同的位置分布带来的精度变差问题，提出了三棱柱矢量基函数的时域不连续伽略金方法，并利用零阶平行板模式特殊的电磁场分布对计算进行二维简化。将三棱柱基函数的时域不连续伽略金方法应用于电路、频率选择表面与超材料的计算与仿真中。所提出的高效快速算法能够加速计算，节约计算资源，从而提高求解效率，在实际电子工程应用中具有较大优势。

目录

声明

第一章 绪 论

1.1 电磁场时域方法研究背景

1.1.1 时域有限差分方法

1.1.2 时域有限体积方法

1.1.3 时域有限元方法

1.1.4 时域不连续伽略金方法

1.2 时域不连续伽略金方法及其基函数的研究历史和现状

1.3 本文的主要创新点

1.4 本文的组织结构

1.5 本章小结

第二章 时域不连续伽略金方法的基本构造

2.1 含时偏微分方程的传统求解方法介绍

2.2 时域不连续伽略金方法的推导

2.3 时域不连续伽略金方法的弱解和强解形式

2.4 数值流量的工作原理及其能量守恒的物理意义

2.5 本章小结

第三章 超高阶节点基函数时域不连续加略金方法的精度研究

3.1 研究背景

3.2 超高阶正交节点基函数的时域不连续伽略金方法

3.3 基函数的插值位置及其带来的矩阵性态问题

3.4 精度研究

3.4.1 一维线段网格

3.4.2 三角形网格

3.5 本章小结

第四章 三棱柱矢量基函数的时域不连续伽略金方法

4.1.1矢量基函数的优势

4.1.2 矢量基函数的数值流设置

4.1.3 矢量基函数时域不连续伽略金方法的半离散矩阵方程

4.1.4 时间推进方案

4.1.5 边界条件设置

4.2 三棱柱时域不连续伽略金方法

4.3 色散媒质中的时域不连续伽略金方法

4.4 时域不连续伽略金方法方法的波端口激励与S参数提取

4.5 三棱柱时域不连续伽略金方法在高速平行电源板中的应用

4.6 本章小结

第五章 二维三维混合的时域不连续伽略金方法

5.1 二维三维混合的时域不连续伽略金方法的研究背景

5.2.1 二维与三维基函数的设置

5.2.2 二维网格单元与三维网格单元的耦合

5.2.3 计算复杂度分析

5.3 二维三维混合时域不连续伽略金方法在高速电源板分析中的应用

5.3.1平行板波导

5.3.2 带有两个阻焊盘的电源板

5.3.3 矩形阻焊盘中带有差分通孔对的不规则平行板对

5.3.4 带有正六边形阻焊盘的不规则平行板对

5.4 本章小结

第六章 二维三维混合时域不连续伽略金方法的自适应判据

6.1 为什么需要自适应判据

6.2 基于因果性原理的自适应判据

6.3 基于时域不连续伽略金方法半离散矩阵方程的自适应判据

6.4 计算复杂性分析

6.5 三棱柱时域不连续伽略金方法与改进节点分析法的耦合

6.6.1 通孔非常靠近阻焊盘的平行板对

6.6.2 具有两个阻焊盘的不规则平行板对

6.6.3 同轴线

6.6.4 带去耦电容的电源接地板

6.7 本章小结

第七章 三棱柱矢量基函数时域不连续伽略金方法用于分析周期性结构

7.1 传统手性反射镜电磁超材料

7.2 手性反射镜电磁超材料的带宽分析

7.3 穿透式宽带手性反射镜电磁超材料

7.4 三棱柱基时域不连续伽略金方法用于分析周期性频率选择表面

7.5 本章小节

第八章 全文总结

8.1 全文总结

8.2 下一步研究工作展望

致谢

参考文献

攻读博士学位期间取得的成果