平衡t叶三元系的存在性

摘要

组合设计是离散数学的一个重要的分支，特别是由于组合设计的理论和方法在数理统计，运筹学，信息论和计算机科学中的重要应用，组合设计的研究进入了一个飞速发展的时期。区组设计是组合设计中一个关键的部分。设X={1,2,…,v},B={B1,B2,…,Bb}是X的k-子集的集合，r为包含X的任意一个元素的k-子集数，假若对任意的I,j∈X(I≠j),B中有λ个区组同时包含他们,则称(X,B)为平衡不完全区组设计，简称BIBD，记做B(k,λ,v)，其中v叫做阶，k叫做区组容量(或区组长度)，λ叫做相遇数。当k=3时,我们称之为三元系，三元系是区组设计中一个重要的研究方向。设(V,B)是一个B(3,λ,v),其中若干个区组B1,B2,…,Bt∈B,若存在s∈V,使得对任意1≤j,k≤t,Bj∩Bk={s}，将每个区组看成三角形状的叶子，叶子的三个角上元素即为区组中三个元素，则t个区组所代表的t个叶子就可以s为中心拼成一个t叶相交于中心一点的结构。显然，除中心s外，t叶上其他点两两不同，我们称这个结构为t叶三元组。如果B中所有区组恰能划分为若干个t叶三元组，且V中每个点作为t叶三元组中心的次数相等，称这个设计为V上平衡的t叶三元系，记作BFTS(t,λ,v)。