非线性方程组的加速迭代解法

摘要

在科学计算中，许多实际问题经过数学模型化后导出的方程组往往是非线性的，非线性方程组问题在各个领域中占有相当重要的地位。因此，如何快速求解这些非线性方程组是我们计算数学研究的一个重要课题。本论文研究的主要内容是非线性方程组的加速迭代解法，全文共分为四章。第一章，简单介绍了非线性方程组的一些常用数值迭代解法。第二章，我们首先介绍了求解非线性方程的Adomian级数法。由于级数收敛速度很快，在实际中只需要选取级数形式解的前几项来近似方程的解即可，所取的项数不同，可得到不同收敛阶的迭代格式。我们对于非线性方程的耦合形式，给出了其非线性部分在另一种分解形式下的迭代格式，得到了求解非线性方程的五阶收敛的迭代方法。另外，我们还将Adomian级数法推广到了高维的情形，给出了求解非线性方程组的两个四阶收敛的迭代方法，数值结果表明新方法很有效。第三章，我们介绍了基于数值积分的非线性方程组的迭代方法。利用牛顿―柯特斯(Newton-Cotes)公式，可得到一系列三阶收敛的迭代序列，并且基于反函数，可得到相应的迭代格式，进一步推广到求解非线性方程组的情形。利用组合技巧，我们用三阶收敛的迭代序列代替Newton步，在Newton-Cotes公式的求积系数满足一定条件下，得到了求解非线性方程组的一个四阶收敛的迭代方法。第四章，我们将割线法和Newton法相结合，得到了求解非线性方程的一个超三阶收敛的迭代方法，并利用差商代替导数，得到了一个七阶收敛的三步迭代方法。

目录

摘要

ABSTRACT

第一章 绪论

1.1 引言

1.2 迭代法的构造与发展

第二章 基于Adomian级数方方法法的的迭迭代法

2.1 Adomian多项式及其计算

2.2 非线性方程的Adomian级数方法

2.3 非线性方程组的Adomian级数法

2.4 数值结果

第三章 基于数值积分的的迭迭代法

3.1 基于Nenton-Cotes公式的非线性方程的迭代方法

3.2 基于Newton-Cotes公式的非线性方程组的迭代解法

3.3 数值结果

第四章 多步高阶迭代法

4.1 非线性方程的多步迭代方法

4.2 差商代替导数的高阶迭代方法

4.3 数值结果

参考文献

致谢

上海交通大学学位论文答辩决议书