半群，环与对应的零因子图

摘要

零因子图的相关研究是近年来一个相当热门的课题.它主要涉及了图论和代数两个方面的知识.研究主要有两种方向,其一是通过对零因子图结构的分析来讨论相关半群或者环的代数结构和代数性质,其二是给定某种性质的环或者半群,来分析它们的零因子图的结构.本文主要讨论了一些星图加细所对应的半群的代数性质,满足条件(△)的半群的理想,子半群及一些同构分类.满足条件Kp的交换环的代数结构,以及一些零因子图对应的复形的同调群的性质。
　　 本文共分为5个部分,具体如下.
　　 第零章是绪论,主要介绍本文的一些符号,概念,以及相关背景知识.同时,罗列出了一些在零因子图的研究领域中非常重要的已知结论,并介绍了本文的主要研究成果.
　　 第一章中我们主要讨论了一些特殊的星图加细所对应的半群的性质和相关的计数公式.令S表示-个交换的零因子半群,G=Г(S)是中心为c的星图加细.令G*c为G的顶点集为V(G)/{c或者与c相连的端点)的诱导子图.F.DeMeyer和L.DeMeyer[1]证明了这样的星图加细满足c2=0.利用这点,我们证明了当G*c为Pn,Lm,n,Wm,n,Rn时,当m,n满足若干条件时,G是半群S的零因子图当且仅当S满足S2={0,c},即S5=0.此时,零因子半群S的结构完全由G*c决定.当G是有限图时,运用群作用和Burnside引理,我们给出了这种半群的同构分类,并给出了计数公式.
　　 第二章中,令a,6是图G=Г(S)中的两个相邻的顶点,记C(a,6):{c｜N(c)={a,b}).条件(△)表示G中存在顶点c∈C(a,6),存在z∈G,使得d(c,z))=3.武同锁和卢丹诚[2]给出了半群的一些子半群,我们在此基础上讨论了满足条件(△)的半群的代数结构,给出了一些S中的子半群和理想.另外,我们构造了几类这种半群图,给出了若干类重要的例子,然后对图通过分层,在两种情况下完全分类了具有该性质的半群图的图结构.
　　 第三章中,我们令图G=Г(R)是一个交换环的零因子图,令H是G的一个诱导子图,记CG(H)={z∈V(G)｜N(z)=V(H)).条件(Kp)表示:图G中存在诱导子图H≌Kp1,存在顶点c∈CG(H)和顶点z,使得d(c,z)=3,其中Kp-1表示p-1个顶点的完全图,p是素数.显然条件(K3)就是条件(△),此时CG(H)就是第二章中的C(a,b).我们完全分类了零因子图满足条件(Kp)的有限交换环.这个结论结合[3,推论2.7]得到,所有不是域的直积的有限环的零因子或者是星图的一个加细,或者满足条件(Kp),其中p是某个素数.这就意味着若R有限,但不是局部环,也不是域的直积,那么diam(Г(R))=3.通过对图的分层,我们完全确定了当第二层B(G)离散时相应环R的结构.
　　 第四章研究半群S的单纯复形K(S)这个概念,这是F.DeMeyer和L.De-Meyer在[1]提出来的.K(S)中的单形A是指S的子集,满足对任意x≠y∈A,有xy=0.Hn(K(s),Z)表示K(S)的N维同调群.我们证明了星图的有限加细有hN(G,z)={0},对任意的n>0.同时,我们也证明了对于满足deg(x)=k的顶点x,对于任意的n≥k,有Hn(K(S),Z)=Hn(K(S)/{x},Z).然后运用上述结论,进一步讨论在第二章和第三章中给出的几类半群对应复形的同调群.

目录

文摘

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答辩决议书

第零章 绪论

§0.1基本概念

§0.2背景和已有成果介绍

§0.3本文主要结果

第一章 一些星图加细所对应的满足S3=0的半群

§1.1预备知识

§1.2满足S3=0的星图加细Γ(S)

§1.3计数公式

第二章 一类半群图

§2.1预备知识

§2.2 S的性质

§2.3一些例子和两种情况下图的完整分类

第三章 关于满足条件(Kp)的图Γ(R)所对应的环R

§3.1满足条件(Kp)的半群图的一些已有结果

§3.2满足条件(Kp)的环的完全分类

§3.3满足条件(Kp)且B(R)是离散的环

第四章 零因子图与其对应的复形

§4.1预备知识

§4.2一些已有的结论及其推广

§4.3计算几类半群图的同调群

参考文献

附录一 致谢

附录二 作者攻读博士期间发表和录用论文情况