辛矩阵特征值的辛SL求解方法的研究

摘要

大型辛矩阵特征值的计算在子结构链的动(静)力分析中十分重要，在离散时间最优控制大系统分析及金融数学中都有重要应用。在保证Hamilton结构始终不变的原则下来求解Hamilton矩阵的特征值是保证计算结果正确的最有效方式。常用的求解特征值的数值解法，只考虑数值精度，不考虑保证结构不变。
　　保守体系有辛规律，Hamilton体系是保守体系，因此有必要探讨应用辛算法来计算各类Ham ilton系统中的矩阵特征值。求解方式是多种多样的。Van Loan提出的平方约化法，保持了Hamilton结构，克服了常用的QR算法不能恰好保证每个半平面上都能求得n个特征值的缺陷。Benner提出了一个求解大型矩阵特征值问题的Lanczos方法，钟万勰建立了求解哈密尔顿矩阵特征值的共轭辛子空间逆迭代法和大型辛矩阵特征问题的逆迭代法。Bunse提出了求解实系数的Riccati方程的辛QR算法。本文的创新工作正是基于上述工作展开的。
　　文中第1-2章是学术背景研究。第1章系统地介绍了Hamilton体系，并研究了Ham ilton矩阵与辛矩阵的特性。第2章则介绍了矩阵特征值的常用数值计算方法。文中第3-4章主要是作者取得的一系列的创新成果，包括：从理论上建立了辛SL算法，分析了有效性和收敛性，以及如何用辛SL算法求解辛矩阵特征值。数值计算结果令人满意。
　　文中的创新成果主要有：
　　①就三种特殊形式的辛矩阵，建立了相应的求解特征值的算法。
　　②针对上述三种矩阵，还建立了矩阵特征值的SL求解算法，并证明了算法的收敛性。
　　③就反Hamilton矩阵，证明了也能应用SL算法有效求解特征值。
　　本文的第5章，是作者按照“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例完成的，是在阅读、理解大量科技文献之后经思考提炼而撰写的综合报告。主要综述了辛算法在弹性力学、波动方程以及DNA弹性杆力学分析中的应用及隐式辛算法的稳定性分析。将不同背景下的实际问题转化为Hamilton系统，选取合适的辛差分格式求解。数值算例表明：Hamilton系统的辛算法数值解是十分可靠的，数值结果是收敛的。

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第一章 Hamilton体系概述

1.1 辛几何概述

1.2 Hamilton矩阵

1.3辛矩阵

1.4反Hamilton矩阵

第二章 矩阵特征值的数值计算方法

2.1幂法

2.2平行迭代法

2.3 QR方法

第三章 SL算法

3.1三个特殊形式的辛矩阵及其对应的算法：

3.2 S L分解

3.3矩阵的辛约化

3.4 SL算法

第四章 辛矩阵特征值的辛SL求解方法的研究

4.1辛矩阵的特征结构

4.2辛矩阵特征值的应用

4.3辛矩阵特征值的SL求解方法

4.4 算例

第五章 作者按“数学系统一要求”撰写的综述报告

5.1Hamilton体系的弹性力学辛差分方法

5.2两种隐式辛算法及稳定性分析

5.3 波动方程辛算法的迭代求解

5.4 Hamiton矩阵特征值的辛求解

5.5DNA弹性杆力学分析的保结构算法

参考文献

致谢

附录 1 作者对著名数学家的研究：数学家刘克峰简介及其关于“快乐数学”的论点

附录2 英译中三阶辛积分方法的两种新解

附录3 作者在攻读硕士学位期间已发表或录用的论文