有限域上多变量多项式的次数矩阵

摘要

本文利用次数矩阵研究有限域上的多变量多项式,全文共分为三章。
　　 在第一章中,我们通过增广次数矩阵的Smith标准形得到了有限域上一类代数集有理点个数的明确表达式,从而推广了孙琦、王文松、Carlitz和Baoulina等人的相关结果。
　　 第二章是第一章中工作的延续和深化。利用第一章中所得到的结果,我们计算了有限域上一类代数集的Zeta函数,并验证了Weil猜想中“有理性”部分和“黎曼假设”部分对于这类代数集是成立的。
　　 在第三章中,我们利用次数矩阵给出了关于有限域上指数和的整除性估计的一个初等而有效的算法,它改进了Chevally-Warning定理、Ax-Katz定理和Adolphson-Sperber定理等关于有限域上代数集有理点个数估计的经典结果。