不可压Navier-Stokes方程的高效数值算法研究

摘要

Navier-Stokes方程（以下简称N-S方程）用于描述流体运动规律，是流体力学领域的基本方程，在科学与工程领域有广泛而重要的应用.由于它是非线性方程组，难以获得解析解，因此数值模拟是研究N-S方程的一个不可或缺的重要手段.本文的核心就是探讨构造不可压N-S方程的高效数值求解算法，并进行理论分析和数值模拟.
　　首先，将定常不可压N-S方程写成变分形式，使用混合元离散，我们讨论了求解离散化问题的一些Uzawa型迭代法.将Temam在文献[1]中所提出的非线性Uzawa算法写成离散情形，通过一些巧妙的分析，并结合文献[2]中的一些技巧，本文给出了算法的收敛率分析，证明了即使对于正则剖分的网格，算法也是以几何级数收敛的，且收缩数不依赖网格尺寸.我们指出:此证明可应用于连续情形的非线性Uzawa算法[1]，也能得到相应的收敛率分析.然而这个算法是非线性的，使用时，在每一个迭代步都需要求解一个非线性方程组.为此，对于该子问题我们设计了一个线性化的迭代求解算法，于是算法总体是一个内外迭代方法.然而如何设置内迭代的次数来平衡计算开销和所得数值解的精度是一个较困难的问题.幸运的是，数值实验表明只做一次内迭代就能保证算法收敛，我们称这样的算法为修正Uzawa算法.在经过一系列的细致分析后，我们证明该算法仍然以几何级数收敛，且收缩数不依赖于有限元网格尺寸.文中给出了一系列数值实验来说明该算法的计算效果.
　　其次，我们证明了求解定常不可压N-S方程的Arrow-Hurwicz算法（以下简称A-H算法）是以几何级数收敛的.Temam在他具有重要影响力的专著[1]中提出求解定常不可压N-S方程的A-H算法，并证明了收敛性，但该算法的收敛率分析至今未能得出.使用文献[2]提供的技巧并结合我们的巧妙分析，我们证明了算法是以几何级数收敛的.这个结果在理论上是重要的，也启发我们设计定常不可压N-S方程的高效算法.可以看到，当A-H算法中的参数ρ=v-1时，即转化为修正Uzawa算法.A-H算法以ρ-1作为一个可调节的人工黏性系数，相比修正Uzawa算法，在子问题的求解上更具优势.我们也给出了离散情形的A-H算法的最优收敛率分析，并提供系列数值模拟结果来说明该算法的计算效率.
　　最后，我们讨论了非定常不可压N-S方程的数值求解.已有的gauge-Uzawa算法[3]是由Nochetto和Pyo提出的一种投影算法，该算法结合了gauge算法和Uzawa算法的优势.我们将gauge算法和Arrow-Hurwicz算法结合起来，构造了gauge Arrow-Hurwicz算法，使得原有的gauge-Uzawa算法的子问题求解更加高效.我们也借鉴gauge-Uzawa算法的误差分析技巧给出了gauge Arrow-Hurwicz算法的误差分析.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景和意义

1．2 研究现状

1．3 本文的主要工作和创新点

1．3．1 本文的主要工作

1．3．2 本文的主要创新点

1．4 一些常用记号和准备知识

1．4．1 混合变分问题的抽象框架和理论

1．4．2 Stokes方程

1．4．3 定常不可压N-S方程

1．4．4 非定常不可压N-S方程

第二章 定常不可压N-S方程的若干Uzawa型算法的构造与收敛率分析

2．1 引言

2．2 非线性Uzawa算法的收敛率分析

2．3 修正Uzawa算法及其收敛率分析

2．4 连续情形的Uzawa算法和修正Uzawa算法的收敛率分析

2．5 数值实验

第三章 定常不可压N-S方程的Arrow-Hurwicz算法的收敛率分析

3．1 Arrow-Hurwicz算法简介

3．2 连续情形Arrow-Hurwicz算法的收敛率分析

3．3 离散情形Arrow-Hurwicz算法及其收敛率分析

3．4 数值实验

第四章 非定常不可压N-S方程的gauge Arrow-Hurwicz算法的构造与误差分析

4．1 引言

4．2 一些基本结果与假设

4．3 稳定性分析

4．4 速度的误差分析

4．5 压力的误差分析

4．6 数值实验

总结与展望

参考文献

致谢

在学期间的研究成果及发表的论文