二维可压流体Euler方程的几类流动结构

摘要

本文主要研究二维可压流体Euler方程的几类流动结构，它包括：简单波，vonNeumann反射结构，压力delta波和临界跨声冲击波．
　　 本文的第二章研究了二维等熵无旋定常简单波．二维等熵无旋定常简单波是这样一种类型的流动，它的流动区域是被一族直特征所覆盖，沿着每条直特征线u, v从而p,ρ, c均为常数.一个重要的性质是：与常状态相临区域内的非常状态流动总是简单波．根据波的传播方向我们得到了二维等熵无旋定常Euler方程几类Goursat问题解的一阶导数先验估计.利用这些先验估计我们构造了疏散简单波和疏散简单波相互作用、疏散简单波在声速线上的反射、压缩简单波和压缩简单波相互作用逆问题的全局解.
　　 本文第三章研究了二维等熵无旋拟定常简单波．类似于二维等熵无旋定常简单波，二维等熵无旋拟定常简单波的流动区域也是被一族直特征所覆盖，沿着每条直特征u，υ， c从而p,ρ均为常数.并且，与常状态相临区域内的非常状态流动总是简单波；几何上，如果把简单波及其像表示在同一坐标平面下，那么它的像可以由一单参数速度图曲线：ξ= u(s)，η=v(s)和一族以该曲线上的点为圆心c(s)为半径的声速圆来表示，其中c(s)满足方程c＇(s)2=((?))2(u＇(s)2+υ＇(s)2)．每一条直特征线均和相应状态的声速圆相切，并且它的方向和速度图曲线在相应点的切线方向垂直．我们还构造了绕一弯曲部拟流线的简单波结构以及两个疏散简单波相互作用的全局解.
　　 为了解决von Neumann三波点悖论，Colella和Henderson(J. Fluid Mech.,213,1990,71-94)在数值模拟弱冲击波反射问题时提出了一种新的反射结构，他们称之为von Neumann反射(vNR)．他们所提出的这种反射结构中入射冲击波和Mach杆在三波点处是光滑连接的，三波点实际上不存在而是退化为一个很小的弯曲的区域，流动在该区域是压缩的.理论上的一个问题是：这种反射结构是否是数学上可能的流动结构．我们在第四章证明对于Euler方程该流动结构是不存在的.
　　 本文第五章在研究Chaplygin气体Euler方程的二维Riemann问题的时候提出了一类新的基本波：压力Delta波．这类Delta波在一维流动中不会出现.但在二维Riemann问题的解中会出现.压力Delta波是关于压强p的Dirac-Delta函数，这种间断和零压流模型的Delta波不同之处在于：零压流模型的Delta波是由于输运现象而造成的质量集中．通过将二维拟定常Chaplygin气体Euler方程的形式做一些改变，我们能够在分布的意义定义这类Delta波解．根据弱解的定义，我们导出了压力Delta波的广义Rankine-Hugoniot关系．
　　 Sheng, Wang和Zhang“Critical transonic shock and supersonic bubble”在用数值模拟方法研究疏散波爬坡问题时提出了临界跨声冲击波（冲击波波后流动刚好为拟声速）的概念.本文最后一章证明了这样的冲击波在数学上是可能的．