对于高维全非线性偏微分方程的一种单调格式

摘要

本文对高维的全非线性抛物型偏微分方程设计了新的蒙特卡洛求解算法，并通过全非线性抛物型方程的特殊形式—拟线性偏微分方程，提出了高维的耦合的向前向后随机微分方程新的数值求解方法。本文的主要贡献是弱化了Fahim，Touzi和Warin[Ann.Appl.Probab，21(2011) pp.1322-1364]，特别是当偏微分方程的生成项仅仅关于Hessian矩阵的对角元相关的情况下，本文可以将Fahim，Touzi和Warin中的限制条件完全去除。在本文的最后，我们给出了包括12维问题在内的一些数值例子。

目录

摘要

第一章 引言

2．2．连续时间鞅

2．3．随机微分方程

2．4．倒向随机微分方程

2．5．向前向后随机微分方程

第3节 基本假设

第三章 数值格式和收敛性分析

第1节 相容性分析

第2节 格式单调性分析

第3节 格式稳定性分析

第4节 边界条件分析

第5节 格式收敛性的证明

第四章 拟线性PDEs和耦合的FBSDEs

第五章 计算格式的实现

第1节 维数较低的情况

第2节 最小二乘方法

第3节 Monte Carlo模拟

第4节 一些进一步的讨论

第六章 数值算例

第1节 满足单调性条件的计算示例

第2节 数值例子：破坏单调性条件

第七章 未来的研究方向和展望

参考文献

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