基于扩散模型的分布式参数系统外界力识别反问题

摘要

本文基于对一维、二维整数阶点源扩散方程和分数阶点源扩散方程正问题的差分求解，在已知点源个数及其位置的前提下，应用最佳摄动量正则化算法探讨了多点源强度识别反问题。
　　第一章给出了论文的研究背景和意义，阐述了有关源项反问题的研究现状及进展，并列出了论文的主要工作。
　　第二章对于一类带有多个点源的一维扩散方程混合边值问题，应用差分法给出了一个数值求解格式。根据出流端的浓度观测数据，应用最佳摄动量正则化算法对源强度识别反问题进行了数值反演。通过三个数值算例验证了算法的有效性，并讨论了正则参数、数值微分步长、初始迭代值以及对流系数等参数对反演算法的影响。
　　第三章讨论了带有多个点源的第二类边界条件的二维对流扩散方程源强反演问题。首先应用差分法给出了一个数值求解格式，然后根据9个观测点在3个观测时刻的观测数据，应用最佳摄动量正则化算法对源强度识别反问题进行了数值反演。通过两个数值算例验证了算法的有效性，并讨论了正则参数、数值微分步长、初始迭代值以及对流系数等参数对反演算法的影响。
　　第四章讨论了第一类边界条件的分数阶对流扩散方程源强反演问题。时间分数阶扩散方程主要采用Caputo意义下的分数阶导数定义进行数值离散，空间分数阶扩散方程采用修正的Grunwald公式对分数阶导数进行数值离散。然后应用最佳摄动量正则化算法对源强度识别反问题进行了数值反演，并讨论了分数微分阶数、对流系数等对反演结果的影响。
　　第五章总结了本文的主要研究工作，同时对多点源识别反问题的后续研究进行了展望。

目录

独创性声明

关于论文使用授权的说明

第一章 引言

1.1研究背景和意义

1.2研究现状及其进展

1.3本文所做的工作

1.4本章小结

第二章 一维多点源扩散方程源强反演

2.1一维多点源扩散方程源强反演的数学模型

2.2正问题求解

2.2.1解析解

2.2.2数值解

2.2.3解析解与数值解的比较

2.3源强的数值反演

2.3.1最佳摄动量正则化算法

2.3.2数值算例

2.4本章小结

第三章 二维多点源扩散方程源强反演

3.1二维多点源扩散方程的源强反演数学模型

3.2正问题求解

3.2.1解析解

3.2.2数值解

3.2.3数值解与解析解的比较

3.3源强的数值反演

3.3.1二维源强反演的最佳摄动量正则化算法过程

3.3.2数值算例

3.4本章小结

第四章 分数阶扩散方程源强识别反问题

4.1一维时间分数阶对流扩散方程

4.1.1数值方法

4.1.2时间分数阶导数的性质

4.1.3数值反演

4.2一维空间分数阶对流扩散方程

4.2.1数值方法

4.2.2空间分数阶导数的性质

4.2.3数值反演

4.3二维时间分数阶对流扩散方程

4.3.1数值方法

4.3.2数值反演

4.4二维空间分数阶对流扩散方程

4.4.1数值方法

4.4.2数值反演

4.5本章小结

第五章 总结与展望

5.1主要结论

5.2后续工作展望

致谢

参考文献

在学期间公开发表论文及著作情况

附录