非线性不适定问题的数值解法研究

摘要

非线性不适定问题的研究在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用，尤其在地球物理、逆散射和微分方程反问题等方面.由于此类问题的非线性性和不适定性，很难求出它的精确解，因此寻找有效的数值求解方法显得尤为重要.本文主要以Urysohn型非线性算子方程为背景，重点研究重力测定、逆散射中出现的非线性不适定问题.论文所开展的主要研究工作如下：
　　（1）研究了两种求解非线性不适定问题的迭代正则化方法，即迭代正则化牛顿法和迭代正则化高斯-牛顿法，利用复化梯形公式、复化辛普森公式给出了具体的离散化过程，基于Sigmoid-型函数的性质，给出了确定正则化参数的方法；
　　（2）对于重力测定问题的研究，利用两种迭代正则化方法分别进行了数值模拟，并对数值结果进行了比较分析，验证了所提算法在求解重力测定问题时是可行的、有效的；
　　（3）在逆散射问题的研究中，主要利用迭代正则化高斯-牛顿法进行了数值求解，在求解时选择不同的正则化算子分别进行数值模拟，并对所得数值结果进行了比较分析。

目录

声明

1 绪论

1.1 课题的研究背景和意义

1.2 国内外研究现状

1.3 本文主要研究工作

2 预备知识

2.1 反问题

2.2 不适定问题

2.3 正则化参数的选取策略

2.4 Fréchet导数

2.5 本章小结

3 迭代正则化方法

3.1 迭代正则化牛顿法

3.2 迭代正则化高斯-牛顿法

3.3 离散化

3.4 数值模拟

3.5 本章小结

4 重力测定问题

4.1 问题描述

4.2 数值模拟

4.3 结果分析

4.4 本章小结

5 逆散射问题

5.1 问题描述

5.2 数值模拟

5.3 结果分析

5.4 本章小结

6 总结与展望

6.1 总结

6.2 有待进一步研究的问题

致谢

参考文献

附录