非均质与非线性问题的间接边界元分析

摘要

物理学、力学和工程技术中的许多问题，都可以归结为求解偏微分方程的初边值问题。但除了极少数的问题可以给出解析解，绝大多数的问题不得不求助于数值方法寻求其近似解。目前，有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)和边界元法(BEM)是工程技术领域最重要的数值方法，在科学研究和工程应用诸多领域得到了广泛的应用。
　　边界元法是一种有效的数值计算方法。相对于其它数值方法，边界元法有很多优点，如降低所求问题的维数，离散化误差仅来源于边界。但在边界元法中，将微分方程变换成积分方程时要应用基本解，若微分方程的基本解未知，就很难用边界元法求解。
　　非线性科学已成为众多基础研究与工程应用研究中的共性科学问题。非线性问题的定量研究依赖于定量求解非线性微分方程。然不同于线性问题，非线性微分方程的求解一般非常困难，只有极个别简单问题可以找到精确解。近一个世纪以来，虽然人们在非线性微分方程的两条主要求解途径，解析方法和数值方法上做出了巨大努力，但至今仍然缺乏一种可直接获得各类弱非线性问题和强非线性问题高精度近似解的普适方法。
　　基于边界元法(BEM)和径向基函数(RBFs)理论，本文提出了求解非均质、非线性位势弹性问题的“源项迭代规则法”。这个方法的思想是用非齐次模拟算子来代替原算子，虚拟源项用径向基函数级数表示，问题的关键是确定虚拟源项级数中的系数，为此，作者提出了求解源项的迭代规则法，简称为“源项迭代规则法”。数值算例表明基于此理论编写的求解非线性与非均质位势弹性问题的FORTRAN程序，计算速度快、实用性更强，所取得的数值解与精确解相当地吻合。

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第一章 绪 论

1.1 研究背景及意义

1.2 数值方法

1.3 本文的主要研究内容

第二章 预备知识

2.1 位势问题相关理论

2.2 弹性力学相关理论

2.3 位势问题的间接变量边界积分方程

2.4 径向基函数和模拟方程法

2.5 源项迭代规则法

第三章 二维非均质热传导问题及其算例

3.1 问题描述

3.2 数值实施

3.3 数值算例

第四章 二维非线性问题及其算例

4.1 二维非线性微分方程

4.2 数值算例

第五章 二维各向异性弹性问题及其算例

5.1 问题描述

5.2 数值算例

第六章 三维非均质热传导问题及其算例

6.1 三维非均质热传导方程

6.2 数值算例

第七章 三维非线性问题及其算例

7.1 三维非线性微分方程

7.2 数值算例

第八章 总结与展望

8.1 总结

8.2 展望

参考文献

在读期间公开发表的论文

致谢