初等函数和一些特殊函数的高精度快速计算

摘要

“初等函数和一些特殊函数的高精度快速计算”来源于国家自然科学基金项目“特殊函数和基本函数的快速算法”的研究内容.本毕业论文主要研究基本函数和特殊函数中的(不完全)Beta函数和超几何函数的高精度快速计算,给出高精度(有效数字为百位甚至千位以上)快速算法.
　　几乎所有的科学计算中需要调用基本函数进行计算,所以很多的科学计算软件中都以基本函数作为内部函数.随着科学计算精度的不断提高,这些软件中的基本函数的高精度快速算法都有改进的空间.本文中讨论了一些函数的高精度快速计算方法,给出了该算法的基本思想,分析了该算法在计算中引起的误差以及需要的运算次数等方面,从理论上对算法的可行性和高效性进行分析,最后给出了该算法的应用.
　　在物理学特别是量子学中经常出现各种(广义)积分.解决此类积分的计算问题,常用的方法为数值积分,而基于数值积分的算法会累积误差,在高精度计算中有时真值会被误差掩盖,得不到期望精度的积分值,因此需要通过级数展开的方法,或者以特殊常数和特殊函数表示的方法来求解这类积分.(不完全)Beta函数作为最基本的一种特殊函数,很多积分形式都可以通过(不完全)Beta函数进行求解.本文中主要讨论了(不完全)Beta函数的快速计算方法,并使用该方法去解决了一些积分的运算问题.
　　超几何函数在特殊函数中具有特殊的地位,因为许多其他类型的特殊函数都是它的特殊情况.在快速计算的研究过程中,很多地方都有它的踪迹.因此,本文中也研究了超几何函数的快速计算,并给出了应用.
　　本论文从简到繁,逐渐深入分析和研究了函数的高精度快速计算.在研究的过程中,将本文给出的算法的计算的结果和已有的算法的计算结果进行比较.可以发现,本文中给出的算法更加优秀.

目录

声明

第一章绪论

1.1 历史背景及选题意义

1.2 国内外的研究现状

1.3 本文主要的研究内容

第二章基本函数的高精度快速计算

2.1基本函数的高精度快速计算的基本方法

2.2基本函数的幂级数展开

2.3 基本函数快速算法的误差分析

2.4 基本函数快速算法的运算次数分析

2.5 基本函数快速算法在函数中的应用

第三章不完全Beta函数与超几何函数的高精度快速计算

3.1 不完全Beta函数的基本性质

3.2 不完全Beta函数的补充定义

3.3 不完全Beta函数和超几何函数2 F1(a,b;c;z)偏导数的快速算法

3.4 Bp,q (z, x, y)和2F1(r,p,q,)(a;b;c;z)快速算法的实现与数值结果比较

第四章高精度快速计算在积分中的应用

4.1 (不完全)Beta函数偏导数在积分中的应用

4.2 超几何函数偏导数在积分中的应用

参考文献

在读期间公开发表的论文

致谢