重心插值微分求积法及其在结构工程中的应用

摘要

梁、板、壳是结构工程常见的构件，其控制方程为微分方程的初边值问题。具有初、边值条件的常、偏微分方程的解析解一般无法通过理论推导获得，只有少数情况能得到解析解，因此人们一般选择数值方法求解微分方程的初边值问题，并且大量的数值算例表明采用数值方法能得到很好的近似值。寻求计算效率高，数值稳定性好，具有较好收敛性的数值方法是解决实际问题的重要途径。 微分求积法作为一种数值求解微分方程的计算方法，具有计算公式简单、程序实施方便等优点。传统微分求积法基于Lagrange插值，但Lagrange插值具有数值不稳定性，Runge现象就说明了这一问题。重心插值公式具有极好的数值稳定性，因此，用重心插值公式来取代Lagrange插值公式，作为微分求积法的插值基函数，同时选取适当数量的第二类Chebyshev点作为插值点，重心插值多项式可以以机器精度逼近任意光滑函数。 本文以建立基于重心插值的微分求积法为主线，内容简介如下： 1、采用重心插值来近似未知函数，根据微分求积法基本原理，建立未知函数的微分矩阵，提出了求解微分方程的重心插值微分求积法，给出了求解高阶微分方程的求解格式；利用得到的求解格式求解微分方程，数值算例表明，该方法具有极高的数值精度和数值稳定性。 2、将重心插值微分求积法应用到求解压杆稳定问题，求解压杆临界载荷，并对压杆的后屈曲路径进行了分析计算。 3、将重心插值微分求积法应用到求解等截面梁与变截面梁的挠度，分析梁的变形。通过得到的挠度数值解可求解梁的转角、弯矩。 4、将重心插值微分求积法应用到求解板的线性弯曲，包括受有轴对称荷载的薄圆板和受有简谐荷载的矩形薄板的挠度求解，分析薄板的线性弯曲。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章绪论

1.1研究背景

1.2研究进展评述

1.3重心插值公式形式

1.4本文研究内容

第2章数值方法综述

2.1有限差分法(finite difference method FDM)

2.2有限单元法(hinite element method,FEM)

2.3边界元法(boundary element method,BEM)

第3章微分求积法的基本原理及研究内容

3.1微分求积法基本原理与研究进展

3.2研究内容

3.3本章小结

第4章重心插值微分求积法公式的建立及其在求解微分方程中的应用

4.1重心插值微分矩阵的建立

4.2求解微分方程初边值问题的重心插值公式

4.3数值求解

4.4本章小结

第5章重心插值微分求积法的工程应用

5.1压杆稳定问题

5.2等截面梁的挠度与转角计算

5.3变截面梁的挠度计算

5.4薄板的挠度计算

5.5本章小结

第6章总结与展望

6.1总结

6.2展望

参考文献

后记

攻读硕士学位期间发表的论文