基于图论的GPS加速的多层格林函数插值法研究

摘要

在计算电磁学不断发展的过程中，电磁散射问题一直是其主要研究方向之一。它在飞机隐身与反隐身、深空探索以及雷达工程等许多军事及民用领域都发挥着非常重要的作用。由于雷达工作于微波频段，常见的目标如舰船、导弹和飞机等均为电大尺寸目标。高频近似方法虽然能够快速求解这类问题，但是其精度往往难以满足工程需要;同时，矩量法(MoM)、有限元法(FEM)等低频方法虽然能精确求解电磁问题，却无法在现有计算条件下应对未知量数目巨大的电大尺寸问题。正是在这样的情况下，各种快速电磁算法应运而生。
　　本文中使用的快速电磁算法是2005年由ChiHouChan等人提出的多层格林函数插值法(MLGFIM)，它主要继承了多层快速多极子(MLFMA)的多层结构以及预纠正快速傅里叶变换(PFFT)的插值思想，其计算和内存复杂度均为O(NlogN)。无论是对于传统算法还是快速算法而言，对计算资源需求最大的部分都是求解矩阵矢量方程。由于在MLGFIM中，近区阻抗矩阵方程是单独进行求解的，并且它是一个稀疏矩阵，因此考虑使用结点优化编码压缩其带宽以提高计算效率。目前主要的结点优化编码方法有AD(Akhras-Dhatt)算法、CM(Cuthill-McKee)算法以及GPS(Gibbs-Poole-Stockmeyer)算法等，其中基于图论的GPS算法在各类问题中普遍排序效果稳定且耗时较短，所以本文使用了GPS算法对近区阻抗矩阵元素进行了重编码。在第三章中首先分析了MLGFIM中多层树的结构，并在此基础上引入了GPS算法对底层盒子进行了排序，从而达到使近区阻抗矩阵减小带宽和外形的目的。随后以不同半径的金属球为例分析了排序的性能以及排序过程中需要注意的问题。
　　对于矩阵方程的迭代求解而言，比较常用的方法有共轭梯度法(CG)、双共轭梯度法(BCG)以及广义最小余量法(GMRES)等。其中GMRES所需存储空间较大，因此实际应用中通常采用重启动的广义最小余量法(GMRES(m))。为了加快其收敛速度，本文采用了灵活的广义最小余量法(FGMRES)，并利用GPS算法排序后的近区阻抗矩阵作为预条件矩阵，通过LDLT分解代替迭代法求解预条件方程。比较发现对于GPS算法排序后的矩阵，通过LDLT分解求解预条件方程的速度更快，从而整个矩阵方程能够更快的达到收敛。文中的算例表明经过排序后，预条件方程排序后的直接法求解时间明显小排序前的直接法求解时间。同时，和使用迭代法求解预条件方程相比，使用直接法求解预条件方程使整个阻抗矩阵方程求解所需的迭代步数显著减少。

目录

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摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景

1．2 国内外研究现状

1．3 文章内容及结构安排

第二章 多层格林函数插值法与结点重编码算法介绍

2．1 引言

2．2 多层格林函数插值法基本原理

2．2．1 问题描述

2．2．2 格林函数插值的引入

2．2．3 多层格林函数插值算法

2．2．4 多层格林函数插值法研究的最新进展

2．3 结点重编码算法介绍

2．3．1 结点优化编码研究概述

2．3．2 图论

2．3．3 矩阵的带宽和外形

第三章 基于GPS的多层格林函数插值法

3．1 引言

3．2 GPS算法原理及实现

3．2．1 GPS算法原理

3．2．2 GPS算法的实现

3．3 GPS算法应用于多层格林函数插值法

3．3．1 树结构与底层链接的建立

3．3．2 将GPS应用于多层格林函数插值法

3．3．3 应用于MLGFIM的GPS性能分析

3．4 计算实例及分析

第四章 应用于多层格林函数插值法的预条件技术

4．1 引言

4．2 预条件技术的基本思想

4．3 广义最小余量法(GMRES)

4．3．1 预条件技术的基本原理

4．3．2 广义最小余量法(GMRES)

4．4 几种基本的预条件技术

4．4．1 预条件技术分类

4．1．2 对角预条件

4．4．3 内外迭代预条件

4．4．4 与GPS结合的预条件技术

4．5 数值结果与分析

第五章 总结与展望

致谢

参考文献

研究成果