共轭积分方程组正解的多重性

摘要

本文利用非线性泛函分析中的拓扑度理论，结合不动点指数和锥与半序方法，主要研究了三类十分重要的非线性共轭积分方程组正解的存在性与多重性，得到了新的结论，推广了以往的一些结果. 本文共分三章，全文假设G为Rn中的有界闭区域，实的Banach空间E=C(G)中的锥P={u∈E：u(x)≥0，x∈G}.乘积空间E×E中的锥为P×P.线性积分算子B1，B2：E→E分别为(B1u)(x)=∫Gk(x，y)u(y)dy，(B2u)(x)=∫G(y，x)u(y)dy，并且假设(1)； (2)B1，B2的谱半径分别为r(B1)，r(B2)且均为正数. 由假设条件易知r(B1)=r(B2)，记为λ1. 在第一章中，我们研究了非线性项性质相同的Hammerstein型积分方程组(1.1)正解的存在性与多重性，即非线性项f和g在零点或无穷远点同时满足拉伸型条什或压缩型条件.其中f，g∈C(G×IR'×IR'，IR'). 本章对积分方程组(1.1)的核函数作下列假设： 设存在hεC(G)并且h在G中几乎处处为正，使得k(x，y)≥h(x)k(z，y)， k(y，x)≥h(x)k(y，z)， Ax，y，z∈G. 我们通过线性积分转置算子谱的有关性质，利用锥上的不动点指数理论，得出了(1.1)单个或多个正解的存在性准则. 假设条件为： (H1)存在p，q∈C(R+，R+)使得对x∈G一致成立. (H2)存在a，b≥0使得a+b< ，并且满足(H3)存在s，t∈C(R+，R+)使得分别对(x，v)∈G×R+与(x，u)∈G×R+一致成立. (H4)存在c，d≥0使得c+d< ，并且满足(H5) f(x，u，v),g(x，u，v)关于u和v是非降的，并且存在N＞0使得对a.e.x∈G有则第一章的的主要结论为定理1.2.1 假设(H1)及(H2)成立，那么问题(1.1)至少有—个正解. 定理1.2.2 假设(H3)及(H4)成立，那么问题(1.1)至少有一个正解. 定理1.2.3 假设(H1)，(H3)及(H5)成立，那么问题(1.1)至少有两个正解. 在第二章中，我们研究了非线性项性质相异的Hammerstein型积分方程组正解的存在性.即f1满足超线性条件，而f2满足次线性条件.其中f1，h1εC(R+×R+，R+)，(i=1，2). 本章对积分方程组(2.1)的核函数作下列基本假设： 设G0=G且为有界闭区域，常数α，β∈(0，1)，并且(Ⅰ)k(x，y)>0，k(y，x)>0，Ax，Y∈G＼eG. (Ⅱ)k(x，少)≤k(y，y)，k(y，x)≤k(y，y)，Ax∈G，y∈G. (Ⅲ)k(x，y)≥αk(y，y)，k(y，x)≥βk(y，y)，Ax∈G0.y∈G. 我们通过计算相应算子在卡氏锥K：xK：上的不动点指数，得出了(2.1)正解的存在性准则. 则第二章的主要结论为定理2.2.1假设(H1)～(H4)成立，那么问题(2.1)至少有一个正解. 在第三章中，我们利用锥拉伸与锥压缩不动点定理，研究了可化为积分方程的非线性Hammerstein积分方程组的正解的存在性与多重性.其中f，g∈C(G×R+，R+). 本章要求积分方程组(3.1)的核函数所满足的假设条件与积分方程组(2.1)一致.假设条件为: 则第三章的主要结论为定理3.2.1假设(H1)～(H3)成立，那么问题(3.1)至少有一个正解. 定理3.2.2假设(H1)，(H4)及(H5)成立，那么问题(3.1)至少有一个正解. 定理3.2.3假设(H1)，(H3)，(H5)及(H6)成立，那么问题(3.1)至少有两个正解.

目录

文摘

英文文摘

声明

绪论

第一章非线性项性质相同的共轭积分方程组

§1.1基本引理

§1.2主要结论

第二章非线性项性质相异的共轭积分方程组

§2.1基本引理

§2.2主要结论

第三章可化为积分方程的共轭积分方程组

§3.1基本引理

§3.2主要结论

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的学术论文