针对有限元或光滑有限元求解的并行预处理高斯-赛德尔迭代法研究

摘要

通常情况下，使用有限元法或光滑有限元法处理计算大型实际工程问题时，其最后的求解离散代数方程组是非常耗时的，尤其当方程组系数矩阵的规模大至百万阶以上时。有限元法或光滑有限元法最终得到的系统刚度矩阵即为该离散代数方程组的系数矩阵，作者发现这样的系统刚度矩阵首先是稀疏对称正定的，而且其非零元素的分布集中在主对角线附近形成一个倾斜的带状结构。高斯-赛德尔迭代法因为其简洁性和稳定性在求解大型线性代数方程组时比较常用。因此，基于有限元法和光滑有限元法最终得到的系统刚度矩阵在结构上和元素布局上的独特性以及相似性，本文首先提出了针对有限元法或光滑有限元法求解的预处理高斯-赛德尔迭代法，该方法能显著提高传统高斯-赛德尔迭代法的收敛速率。此外，在该方法基础之上，作者又设计了基于MPI和OpenMP模式的高效并行算法来优化模型的性能。最后，通过六组不同规模的具体数值实例来验证了本文所最终提出的并行预处理高斯-赛德尔迭代法的易用性和高效性。尤其当处理百万级规模问题的时候，利用所提出方法优化后的计算速度比最初始的计算速度快了百余倍，即最初耗时数个小时的计算最终耗时缩减到几十秒。

目录

声明

第一章 引言

1.1 研究的背景及现状

1.2 研究的关键要点

1.3 研究的意义

1.4 论文内容安排

第二章 有限元法和光滑有限元法的计算

2.1 有限元法和光滑有限元法

2.2 系统刚度矩阵

第三章 预处理高斯-赛德尔迭代法

3.1 经典高斯-赛德尔迭代方法介绍

3.2 常见预处理因子

3.3 动态化预处理高斯-赛德尔迭代法

第四章 并行预处理高斯-赛德尔迭代法

4.1 MPI+OpenMP 并行计算介绍

4.2 稀疏矩阵存取设计

4.3 并行预处理高斯-赛德尔迭代法

第五章 数值实例

5.1 算例描述

5.2 数据对比

第六章 研究的结论及评估

6.1 结论

6.2 评估

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的学术论文