几类具p-Laplace算子的动力方程周期解的存在性

摘要

微分方程和差分方程在自然科学、生物学、医学、经济学和控制论等领域有着重要的地位和应用价值。时间尺度上动力方程理论作为微分方程和差分方程的统一，能更好地洞察二者之间的本质差异，还可以更精确地描述那些有时连续出现而有时离散出现的现象。所以，时间尺度上动力方程的研究具有理论意义和现实基础。
　　 本文旨在讨论具p-Laplace算子的微分方程和时间尺度上动力方程周期解的存在性问题，通过应用Mawhin连续定理、广义Mawhin连续定理和不等式技巧，获得了具p-Laplace算子的二阶、三阶和四阶微分方程周期解的存在性条件。借助于Mawhin连续定理，首次研究了时间尺度上二阶、三阶动力方程周期解的存在性，获得了一些较有意义的成果。
　　 全文分为五章，结构安排如下：
　　 在第一章中，我们简述了问题产生的历史背景和发展历程，时间尺度相关概念的引进和理论的发展，并对本文的主要工作做了简要陈述。
　　 第二章分为三节，分别应用Mawhin连续定理、广义Mawhin连续定理和不等式技巧讨论了一类广义Liénard型p-Laplace微分方程，三阶p-Laplace微分方程和四阶p-Laplace微分方程周期解的存在性问题，获得了一些较好的周期解存在唯一性条件，并将一般二阶方程推广到了三阶和四阶。本章所得结果分别收录在Advances inDifference Equations、济南大学学报自然科学版以及中山大学学报上。
　　 第三章分为四节，研究了时间尺度上三类具p-Laplace算子动力方程周期解的存在性问题，应用Mawhin连续定理研究了时间尺度上二阶和三阶具p-Laplace动力方程的周期解存在性，得到了一些好的结果。本章第一节所得结果收录在SCI收录杂志Advances in Difference Equations上。
　　 第四章研究了一类高阶差分方程周期解的存在性，应用临界点理论，给出了差分方程周期解存在的几个充分条件。