一类非线性Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统解的存在性与唯一性

摘要

非线性偏微分方程是现代数学中的一个重要分支，是自然科学与工程领域中普遍研究的问题.不论在理论还是实际应用中，都有重大的意义和价值，一直以来受到大量国内外研究者的广泛关注. Kirchhoff型方程和Schr(0)dinger方程是非线性偏微分方程中最基本也是非常重要的两类非线性方程.关于这两类方程其解的存在性，唯一性以及多解性一直是作者们研究的热点问题.本文利用山路定理，全局紧性引理等变分方法讨论了两类Kirchhoff-Schr(0)dinger-Poisson系统解的情况.
　　本文分为三章.
　　第一章，绪论.
　　第二章，考虑如下的Kirchhoff-Schr(0)dinger-Poisson系统此处为公式其中ΩCR3是有界光滑区域，a,b≥0且a+b>0,λ,μ∈GR+=[0,∞)关于f,h和g,给出下列条件：
　　(fo)f∈C((0,∞),R+)且存在δ>0,使得f在(0,δ]上递减，fδ0f(s)ds<∞.此外，存α,γ∈(0,1),使得此处为公式(f1)存在常数k∈(0,aS|h|-13/2),使得f(s)-f(t)≤k(s-t),δ≤t≤s其中S是最佳Sobolev常数；
　　(f2)f∈C((0,∞),R+)递减且f01f(δ)ds<∞.此外，存在a∈(0,1),使得此处为公式(ho)h∈L6/(5-γ)(Ω)且满足h(x)>0,a.e.x∈QΩ;
　　(h1)h∈L3/2(Ω),h(x)>0,a.e.x∈QΩ;
　　(g)g∈C(R+,R+)且存在c>0,使得此处为公式利用变分方法,得到如下定理.
　　定理2.1.1设a,b≥0且a+b>0.若条件(h0)，（f0)及(g)成立，则对任意的λμ∈R+，上述系统的解存在.此外，该解是上述系统能量泛函的全局极小值.
　　定理2.1.3设a>0.若条件(h1),(f0),(f1)及(g)成立,此外，函数g在R+上是递增的,则对任意的λμ∈R+，上述系统存在唯一解.
　　定理2.1.5若条件(h0)，(f2)及(g)成立且g在R+上递增，则对任意的λμ∈R+，上述系统存在唯一解.
　　第三章，考虑如下的Kirchhoff-Schr(0)dinger-Poisson系统此处为公式,其中a>0,b≥0是常数,μ≥0,充分小.关于f,V,给出下列条件：
　　(f3)f∈C1(R3,R+)且f(s)/s3在上递增,lims→∞f(s)/s3=∞;
　　(f4)lims→∞f'(s)/s4=0;
　　V∈C(R3,R+),lim∣X∣→∞V(X)=V∞存在且V∞＞0.此外,满足V(X)≤V∞,X∈R3.
　　利用山路定理和全局紧性引理,得到如下定理.
　　定理3.1.1若条件(f3)-(f4)成立且V=V∞,则上述系统存在正的基态解.
　　定理3.1.2若条件(f3)-(f4)和(V)成立，则上述系统存在正的基态解.