关于极小非平凡作用与内幂零群的若干探讨

摘要

一个有限群G称为内幂零群(或极小非幂零群，或Schimdt群)如果其本身不是幂零群，但每个真子群都是幂零群.熟知这是有限群理论中非常基本而重要的一类群，经常出现在极小反例环境中.但直到2005年，才由三位群论学者(其中有著名的群论专家D.Robinson)应用了所谓的极小非PST群类的结构定理，最终得到内幂零群结构的一个完整刻画，即给出了一个群为内幂零群的充要条件.但他们所给的证明是非常复杂的，并非是一个直接了当的初等证明.
　　本文主要目的是从一个新的角度重新探讨内幂零群的结构定理，得到了一个简明的刻画，并获得了新的结构信息.
　　我们首先需要建立一个关于不可约自同构的判别准则，该结果在我们后续的研究中仍将发挥重要的技术功效.
　　定理1.设V为初等交换p-群,|V|=pn,α∈ Aut(V)为一个pl自同构，视V为p元域F=GF(p)上的向量空间，则α在V上不可约当且仅当α在V上的特征多项式在F上不可约.特别地，当O(α)=qe,其中q≠p为素数，则α在V上不可约当且仅当n=ordqe(p),即n是满足同余方程pn=1(mod qe)的最小正整数.
　　进而，我们需要将经典的Hall-Higman简化定理加以改进，获得了其充要条件形式，据此得到极小非平凡作用的一个刻画.
　　定理2.设p为素数，有限群A通过自同构作用在有限p-群P≠1上,p|A|,则该作用为极小非平凡作用当且仅当下面的两个条件是同时成立的：
　　(1)Cp(A)=φ(P),其中φ(P)为P的Frattini子群；
　　(2)A在P/φ(P)上的诱导作用不可约.
　　另一个等价形式是将φ(P)替换成导群P1,我们有类似的刻画.
　　定理2'.设有限群A互素作用在有限p-群P≠1上，p|A|则该作用为极小非平凡作用当且仅当下面的两个条件是同时成立的：
　　(1)CP(A)=P1.
　　(2)A在P/P1上的作用不可约.
　　使用上述定理1和定理2,我们即可给出内幂零群结构的一个新的刻画.
　　定理3.设G为有限群，则G为内幂零群当且仅当下面的三个条件是同时成立的：
　　(1)G=P×Q,P∈Sylp(G)此处为公式正规,而Q∈Sylq(G)循环,其中p,q为不同素数.
　　(2)CQ(P)=φ(Q),CP(Q)=P1=φ(P),其中φ(Q)为Q的Frattini子群;
　　(3)d(P)=Ordq(p),其中d(p)为P的最小生成元个数,即P/φ(P)=PD(P),而ordq(p)是满足同余方程PR≡1(modp)的最小正整数r.
　　从定理3出发，我们获得了一个“极小阶”的内幂零群的构造，可视为具有相同素因子的内幂零群的共同的商群.
　　定理4.任取两个不同的素数p和q,设d=ordq(p),即d为满足同余方程pd=1(mod q)的最小的正整数.设P=Cp×…×Cp是pd阶初等交换p-群，而Q= Cq为q阶循环群，则Q同构于Aut(P)的一个子群，且相应的半直积PxQ为一个内幂零群.进而，如果G是任意的一个内幂零群并且|G|=paqb,那么PxQ同构于G的一个商群，由此表明PxQ是所有内幂零的{p,d}-群中的最小阶者.

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