二维圆环弹子球体系的量子谱分析

摘要

在量子力学中有很多不同的半经典计算工具，利用它们我们可以更好的了解介于经典和量子力学之间的一些体系的有关问题。自从Gutzwiller对混沌体系提出的周期轨道理论以来，周期轨道理论已经成为人们研究定态体系的量子谱和所对应粒子经典运动的关系的半经典主要工具之一。对可积和混沌体系运动行为的经典力学和量子力学之间关系的研究一直延续不断。用半经典的方法来研究粒子经典运动已成为处理某些量子问题必不可少的工具。对于体系的量子描述和经典描述的对应关系，周期轨道理论也给出了深层次的解释。 近年来，随着人造原子(量子阱)的研究，纳米技术越来越受到人们的青睐，微腔结构及其输运问题成为人们的热门话题。微腔输运性质的研究可以采用弹子球(又叫量子台球)作为模型，在研究动力学性质特别是量子混沌中，这种模型已经证明是很有意义的，在理论和实验上都有很好的发展前景。 早期的量子力学中，半经典技术给出的WKB(Wentzel-Kramers-Brillouin)量子化方法和EBK(Einstein-Brillouin-Keller)量子化方法，这两种方法分别适用于一维体系和n个自由度的体系。但是，这些半经典量子化方法仅适用于可积体系。Gutzwiller从格林函数迹的精确量子表达式出发，用格林函数的半经典近似代替它的量子形式，应用稳定相近似得到态密度的半经典表达式。Gutzwiller的半经典迹公式适用于完全混沌的体系。这些方法有利于我们提高对一个体系经典与量子性质，以及它们之间相互作用的认识。 本文应用周期轨道理论，运用量子谱函数，这种量子谱函数的傅利叶变换包含了体系许多经典轨道的信息。以二维无限深圆环势阱为例，利用它们的能量本征值和本征函数，用态密度公式，计算周期轨道的情况下，量子能态密度的傅立叶变换p(L)。在｜p(L)｜2随L变化的函数图像中得到了一系列的峰，量子峰的位置与用经典方法得到的轨道长度符合得很好，这不但说明了周期轨道理论的正确性，还给出了量子描述和经典描述精确符合的例子。 本文所研究的体系圆环与其它体系(如圆、正方形等)最大不同就是：它有一个可变的参数f=Rin/Rout，内圆不同体系的性质有也不同。通过比较外圆相同内圆不同的体系的量子谱以及圆环与圆这两种相近体系的量子谱，我们发现了一些有用的信息。论文共分为四章。第一章为综述，从总体上介绍了半经典理论的要点及其发展。第二章介绍了周期轨道理论。第三章专门研究圆环无限深势阱体系的弹子球运动，应用周期轨道理论，寻求它们的经典描述和量子描述之间的关系，以及它们之间的对应关系，并把所得到的结果进行比较，发现量子谱峰的位置与经典轨道的长度在误差允许的范围内符合得很好。从这个体系可以看出半经典理论为经典和量子力学提供了很好的桥梁作用。最后一章是本文的结论和对将来工作的展望结果。 近年来随着实验技术的提高，量子——经典相互作用的研究逐渐成为一个重要的课题。晶体生长技术和光刻技术的发展，使得纳米器件的生产成为可能。在纳米器件中，通过控制门电压可以控制电子的运动，这就是量子弹子球体系在实验中的实现。本文的讨论对于实验研究有一定参考价值。

目录

声明

第一章综述

1.1半经典理论复苏和发展

1.2周期轨道理论

1.3二维量子弹子球体系的特点和研究进展

第二章周期轨道理论

2.1量子体系的迹

2.2马斯洛夫指标

2.3传播子

2.4格林函数

2.5迹公式

2.6可积体系中的周期轨道理论

第三章二维圆环弹子球体系的量子谱分析

3.1量子谱函数

3.2二维圆环弹子球体系的量子表达

3.3二维圆环弹子球体系运动的经典表达

3.4量子谱与经典轨道的对应

3.4.1：外环半径R=1， f=0.2，内圆半径Rm=0.2R=0.2时，量子谱与经典轨道的对应

3.4.2 外环半径R=1， f=0.6，内圆半径Rm=0.6R=0.6时，经典轨道与傅立叶变换量子谱的对应

3.4.3 内圆半径分别Rin=0.2,Rin=0.6 Rin=0.85时，量子谱的对比

3.4.4内圆半径Rin=0.2的圆环体系与圆形体系量子谱的对比

第四章结论

5.1本文的主要研究

5.2本文的创新

5.2对未来工作的展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文

致谢